El componente positivo de un submartingale es un submartingale

Question

Estoy tratando de demostrar el lema de Doob sobre el cruce y el primer paso requiere demostrarlo: Si $X$ es un submartingale, entonces $(X-a)_+$ es un submartingale. Lo encontré intuitivo pero no pude probarlo. Aquí está mi intento:

$\mathbb{E}[(X_{n+1}-a)_+|\mathscr{F_n}]\\=\mathbb{E}[(X_{n+1}-a)|\mathscr{F_n}]+\mathbb{E}[(X_{n+1}-a)_-|\mathscr{F_n}]\\>(X_{n}-a)+\mathbb{E}[(X_{n+1}-a)_-|\mathscr{F_n}]\\=(X_{n}-a)_+-(X_{n}-a)_-+\mathbb{E}[(X_{n+1}-a)_-|\mathscr{F_n}]\\=(X_{n}-a)_++(\mathbb{E}[(X_{n+1}-a)_-|\mathscr{F_n}]-(X_{n}-a)_-)$

Si $(X_{n}-a)_-$ es una martingala o submartingala esto está bien. ¿Y si es una supermartingala?

Answer 1

Observe que $(X_{n+1 }-a) ^+\geqslant X_{n+1}-a $ por lo que la expectativa condicional con respecto a $\mathcal F_n$ produce $$\mathbb E\left[(X_{n+1 }-a) ^+\mid\mathcal F_n\right] \geqslant \mathbb E\left[(X_{n+1 }-a)\mid\mathcal F_n\right].$$ Ahora encuentre un límite inferior utilizando la propiedad submartingale.