¿Es esta distribución de probabilidad matemáticamente posible?

Question

Dejemos que $\Omega = [0, 1]$ . Dejemos que $\mathbb Q_{[0, 1]} = \{R_1,R_2,R_3...\}$ , donde $R_n$ denota los números racionales individuales en $[0,1]$ . Dejemos que $\mathbb R_{[0,1]}-\mathbb Q_{[0,1]}$ denotan los números irracionales en $[0,1]$ . ¿Es posible asignar probabilidades tales que $P(R_n)=\frac {1}{2^{n+1}}$ y $\forall X (X\in \mathbb R_{[0,1]}-\mathbb Q_{[0,1]}), P(X)=0$ ? ¿Viola esta asignación de probabilidad algún axioma?

Answer 1

Consideremos la distribución (discreta) $P_1$ definido en $\mathbb{Q}\cap[0,1] = \{R_n\}_{n\geq 1}$ por $$ P(R_n) = \frac{1}{2^{n}} $$ Esto está bien definido. Dejemos que $P_2$ denotan la distribución uniforme en $[0,1]$ . Entonces la mezcla $$ P = \frac{1}{2} P_1+\frac{1}{2}P_2 $$ satisface lo que quieres.