Integral triple para el volumen del casquete de la esfera sólida $x^2 + y^2 + z^2 \leq 10$ cortada por el avión $z=1$ ?

Question

La pregunta me pide que formule una integral triple para el volumen del casquete de la esfera sólida $x^2 + y^2 + z^2 \leq 10$ cortada por el avión $z=1$ ?

Aquí está la integral que formulé como respuesta (usé coordenadas cilíndricas):

$$\int_0^{2\pi} \int_0^\sqrt{10} \int_1^\sqrt{10-r^2} r \ dz \ dr \ d\theta$$

Sin embargo, aparentemente la respuesta correcta es:

$$\int_0^{2\pi} \int_0^3 \int_1^\sqrt{10-r^2} r \ dz \ dr \ d\theta$$

La única diferencia es el $3$ pero ¿dónde está el $3$ ¿de dónde viene? $x^2 + y^2 + z^2 \leq 10$ implica que estamos tratando con una esfera con radio $\sqrt{10}$ . No tengo ni idea de dónde está el $3$ viene de verdad. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Cuando $z=1$ tienes

$$x^2+y^2+z^2=10$$ $$x^2+y^2+1^2=10$$ $$x^2+y^2=9$$

... un círculo de radio 3. Esta "sombra" del sólido define la región en el plano xy sobre la que ocurre la integración.

Answer 2

El límite superior del radial $r$ -integral está determinada por

$$r^2= x^2+y^2= 10-z^2$$

Dado que el volumen está limitado a $z=1$ el radio máximo es $r= \sqrt{10-1^2}=3$ .

Answer 3

Límite inferior en la integración para $r$ es 0

Límite superior en la integración para $r$ es $\sqrt{(\sqrt{10})^2 -1^2 }$