Intuición física detrás de ningún extremo de una función

Question

Durante muchos de los cursos (mi formación es de dinámica de fluidos), he visto que si una función $\phi(x,y)$ es suave y continua y satisface una ecuación de difusión/Laplace de la forma $$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0$$ sobre una región cerrada, $R$ delimitada por una curva, $P$ con el valor límite mantenido constante en $\phi_P$ (de nuevo, suave y continuo). ¿Cómo puedo argumentar físicamente que la función $\phi$ no tendría un máximo o un mínimo local en el interior de $R$ ?

Soy capaz de razonarlo mediante métodos numéricos, por ejemplo, diferencias finitas. Pero, ¿cuál sería la explicación física detrás de esto?

Answer 1

La ecuación de Laplace $\Delta u=0$ describe equilibrio soluciones (o independientes del tiempo, en estado estacionario, o la terminología que se prefiera) a la ecuación del calor $u_t = \Delta u$ . Y no esperarías que una solución de equilibrio tuviera un "punto caliente" (es decir, un máximo local) en algún lugar del medio, ¿verdad? Esa situación no duraría, ya que el calor quiere fluir de las regiones calientes a las frías, para igualar la temperatura lo más posible.

Answer 2

¿Qué es la significado físico del operador de Laplace? Un camino no demasiado complicado hacia la comprensión es considerar el conocido stencil de diferencias finitas en una malla rectangular uniforme con un espacio $h$ . $$ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \frac{(\phi_{i+1,j}-\phi_{i,j})/h-(\phi_{i,j}-\phi_{i-1,j})/h}{h} \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = \frac{(\phi_{i,j+1}-\phi_{i,j})/h-(\phi_{i,j}-\phi_{i,j-1})/h}{h} \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0 \quad \Longrightarrow \\ \left(\phi_{i-1,j}-2\phi_{i,j}+\phi_{i+1,j}\right)+\left(\phi_{i,j-1}-2\phi_{i,j}+\phi_{i,j+1}\right) = 0 \\ \Longrightarrow \quad \phi_{i,j} = \frac{1}{4}\left(\phi_{i-1,j}+\phi_{i+1,j}+\phi_{i,j-1}+\phi_{i,j+1}\right) $$ Se observa que cualquier valor de $\phi$ en el dominio de Laplace es el media de sus valores circundantes . En general: el operador de Laplace $\nabla^2$ es un generador de valores medios. Esto se hace aún más evidente si la función $\phi(x,y)$ se identifica con una distribución de temperatura en un medio conductor de calor, como ejemplificado en la respuesta de Hans Lundmark.