¿Cuáles son dos mapas continuos de $S^1$ $S^1$ que no son homotópicas?

Question

Esta es una pregunta de examen que encontró mientras estudiaba para mi examen a nuestro curso de topología:

Dar dos mapas continuos de $S^1$ $S^1$ que no son homotópicas. (Por supuesto, proporcionar una prueba así.)

Los mapas sólo continuos de $S^1$ $S^1$ puedo pensar son rotaciones, y pensé que las rotaciones en un círculo pueden ser continuamente transformadas en uno con el otro.

Answer 1

La identidad no es homotópicas a un mapa constante; de lo contrario, $S^1$ sería contractible, que implicaría $\pi_1(S^1)=0$.

Answer 2

Si usted piensa en $S^1$ como el círculo de la unidad en $\mathbb C$, cada clase de homotopía de lazos en $S^1$ $1$ de punto de partida está representado por el mapa $f_n(z) = z^n$ donde $n$ puede ser cualquier número entero y es no muy difícil demostrar que $f_m$ y $f_n$ están en la misma clase de homotopía si y sólo si $m=n$.

Answer 3

$F_1:S^1\to S^1 $

$F_1(s)=(\cos(2\pi s),\sin(2\pi s))$ y

$F_2:S^1\to S^1$

$F_2(s)=(\cos(4\pi s),\sin(4\pi s))$ donde $s$ va de $0$ $1$, no son homotópicas.