Encontrando $n$ tal que $\phi(n)=34$ (donde $\phi$ es el totiente de Euler)

Question

¿Cómo puedo encontrar $n$ tal que $\phi(n)=34$ (donde $\phi$ es el totiente de Euler) o demostrar que no existe?

¿Y cómo puedo encontrar $c$ para lo cual $\phi(n)=c$ si $n$ sí existe para $c$ ?

Answer 1

Si $p\mid n$ entonces $p-1\mid\phi(n)$ es decir $p-1\in\{1,2,17,34\}$ . Esto implica $p=2$ o $p=3$ como $18$ y $35$ no son primos. Pero $\phi(2^a3^b)$ nunca puede ser un múltiplo de $17$ .

Answer 2

Para responder (parcialmente) a la segunda pregunta, si $n = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$ para $p_i$ diferentes primos entonces $$ \phi(n) = n \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{p_r} \right) = p_1^{a_1 - 1} \cdots p_r^{a_r - 1} (p_1 - 1) \cdots (p_r - 1) $$