$\lim_{x\to\infty}\int_0^{x} e^{t^2} dt=\infty$

Question

Quiero demostrar que $\lim_{x\to\infty}\int_0^{x} e^{t^2} dt=\infty$ . La expansión de Taylor puede ayudar seguro. Pero quería saber si alguien sabe una forma agradable de mostrar la declaración sin usar Taylor?

Answer 1

$e^{t^{2}} >1$ para $t>0$ . Así que la integral es mayor que $x$ .

Answer 2

Si $x>1$ entonces \begin {align} \int_0 ^xe^{t^2}\N-, \mathrm dt&= \int_0 ^1e^{t^2}\N-, \mathrm dt+ \int_1 ^xe^{t^2}\N-, \mathrm dt \\ & \geqslant\int_0 ^1e^{t^2}\N-, \mathrm dt+ \int_1 ^xe^t, \mathrm dt \\ &= \int_0 ^1e^{t^2}\N-, \mathrm dt+e^x-1 \end {align} y $\lim_{x\to\infty}\int_0^1e^{t^2}\,\mathrm dt+e^x-1=\infty$ .

Answer 3

Utilizando la expansión de Taylor y el teorema de convergencia monótona obtenemos

$$\int_0^x e^{t^2}\,dt = \int_0^x \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{t^{2n}}{n!}\right)\,dt = \sum_{n=0}^\infty \int_0^x\frac{t^{2n}}{n!}\,dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} \ge x$$