Transformaciones lineales & Kernel & Range

Question

Sea S: M_n(R) -> M_n(R) definido por: S(A) = A - A^T

Ahora, necesito hacer tres cosas para esta pregunta a) Demostrar que S es una transformación lineal b) Encontrar Ker(S) y describirla c)) Encontrar Rng(s) y describirla

Para la parte a, acabo de demostrar que S(A)=A-A^T satisface la adición y la multiplicación escalar, lo que no fue una tarea demasiado difícil. Para la suma, hice que S(A+B) = (A+B) - (A+B)^T y luego resolví el álgebra hasta obtener S(A+B) en el lado derecho de la ecuación. Para la multiplicación escalar hice lo mismo con S(cA) = cA-cA^T.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo empezar las segundas 2 secciones (b&c). Sé cómo obtener el núcleo (espacio nulo) de una matriz, pero no para una pregunta como ésta. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Para el núcleo, tenga en cuenta que tiene $$A-A^\mathrm{T} =0 \iff A=A^\mathrm{T}$$ Por lo tanto, una matriz está en el núcleo si y sólo si es simétrica. ¿Cuál es la dimensión del espacio de $n\times n$ ¿matrices simétricas?

Para el rango, observe que la imagen del mapeo es siempre sesgada-simétrica. A continuación, observe que $$\mathrm{M}_n(\mathbb{R})=\mathrm{Sym}_n(\mathbb{R})\oplus\mathrm{Skew}_n(\mathbb{R})$$ Utiliza esto junto con la nulidad de rango para demostrar que el mapeo es suryente hacia $\mathrm{Skew}_n(\mathbb{R})$ .