Densidad de probabilidad de $aX+bY$ ?

Question

Sé que $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes. Y necesito encontrar la densidad de probabilidad de $aX+bY$ (conociendo $f_1(x)$ y $f_2(y)$ ). He buscado en internet y no he podido encontrar una solución (al menos no una que pueda entender). ¡Si pudieras ayudarme con la solución a este problema, te lo agradecería! ¡Gracias!

Answer 1

Probablemente debería recordar los siguientes hechos:

1. Si $X_1$ y $X_2$ son variables aleatorias independientes con densidades $f_1$ y $f_2$ en consecuencia, la función de densidad conjunta de $(X_1,X_2)$ es $h(x_1,x_2)=f_1(x_1) \cdot f_2(x_2)$ .
2. Dado $a\neq 0$ , entonces para todos los $z\in \mathbb{R}$ lo sabes: $P(aX\leq z)=P(X\leq \frac{z}{a})=\int_{-\infty}^{\frac{z}{a}}f_X(x)dx = \int_{-\infty}^{z} a f_X(t) dt$ . Y como esto es cierto para todos $z$ Esto te da que $f_{aX}(t)=af_X(t)$ .
3. $aX(\omega_1)+bY(\omega_2)$ es una variable aleatoria de $\Omega \times \Omega$ a $\mathbb{R}$ mientras que el espacio $(\Omega\times \Omega, \mathcal{F}\otimes \mathcal{F}, P\otimes P)$ es sigma-finito.