Prueba de que $\gcd$ divide $\operatorname{lcm}$

Question

Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

i) Existen enteros positivos $a, b$ tal que $\gcd(a,b)=d$ y $\operatorname{lcm}(a,b)=m$ .

ii) $d\mid m$

Answer 1

La dirección única es fácil ya que $\gcd(a,b)\mid a$ y $a\mid \operatorname{lcm}(a,b)$ .

Para la otra dirección aquí hay una pista.
Supongamos que $a\mid b$ . ¿Cuáles son los $\gcd(a,b)$ y $\operatorname{lcm}(a,b)$ ?

Answer 2

También podrías utilizar gcd y lcm en lo que respecta a la descomposición de primos.

Dejemos que $a=\prod_{k=1}^{m}p_k^{i_k}, b=\prod_{k=1}^{m}p_k^{j_k}$ donde $p_k$ es el $k$ El número primo. Entonces $$d=\gcd(a,b)=\prod_{k=1}^{m}p_k^{\min\{i_k,j_k\}}$$ $$m=\text{lcm}(a,b)=\prod_{k=1}^{m}p_k^{\max\{i_k,j_k\}}$$ ¿Puedes verlo desde aquí?

$d|m \Rightarrow m=dx, x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \prod_{k=1}^{m}p_k^{\max\{i_k,j_k\}}=\left(\prod_{k=1}^{m}p_k^{\min\{i_k,j_k\}}\right)x.$ Por lo tanto, $$x=\frac{\prod_{k=1}^{m}p_k^{\max\{i_k,j_k\}}}{\prod_{k=1}^{m}p_k^{\min\{i_k,j_k\}}}=\prod_{k=1}^{m}p_k^{\max\{i_k,j_k\}-\min\{i_k,j_k\}} \in \mathbb{Z}$$