¿Cuál es el campo con un elemento?

Question

He oído hablar de esto muchas veces, pero no sé nada al respecto.

Lo que sí sé es que se supone que resuelve el problema de que el objeto final de la categoría de esquemas es unidimensional, a saber $\mathop{\text{Spec}}\mathbb Z$ .

Entonces, ¿cuál es el campo con un solo elemento? Y, ¿cuáles son los objetos geométricos típicos que descienden a $\mathbb F_1$ ?

Answer 1

Ésta es probablemente la manifestación más sencilla del fenómeno del campo con un elemento. Definir un proyectivo $n$ -espacio de orden $q$ como una colección de puntos, líneas, planos, etc. que satisfacen las relaciones de incidencia habituales con la condición adicional de que cada línea tiene $q+1$ puntos en él, cada plano tiene $q^2+q+1$ puntos en él, etc. Para $q$ una potencia prima, todos estos espacios proceden de la definición habitual de proyectivo $n$ -espacio $\Bbb P^n(\Bbb F_q)$ sobre un campo finito.

Pero un proyectivo $n$ -espacio de orden $1$ es precisamente el álgebra booleana de subconjuntos de un conjunto con $n$ ¡elementos!

(Este ejemplo se debe a Henry Cohn, y tiene la virtud de que cualquier teorema que se quiera demostrar en este entorno abstracto no depende del valor de $q$ .)

Answer 2

Había un gran serie en esto de los libros interminables. Lamentablemente, el sitio web derivado, "F_un mathematics" parece haber desaparecido de la red.

Answer 3

Uno de los muchos recursos señalados anteriormente enlazaba con el inédito preimpresión por Kapranov y Smirnov llamado Determinantes de cohomología y leyes de reciprocidad: el caso del campo numérico . Está publicado página por página en jpgs, pero merece la pena echarle un vistazo. Trabajan los detalles de los espacios vectoriales sobre F_1^n en detalle y también relacionan el símbolo clásico de residuo de potencia con determinantes de morfismos de estos espacios vectoriales.

Answer 4

No soy un experto, pero la idea es que debería haber alguna "cosa" sobre la que podamos definir funtores que, tras el cambio de base, sean esquemas. Sobre esta "cosa", los anillos de enteros deberían ser curvas literales. El gran ejemplo de cosas que conozco es que un espacio vectorial sobre F_1 (o F_un, si eres de los que les gusta la notación divertida) es un conjunto apuntado. Para más información, se han publicado algunos posts de "This Week's Finds" sobre ellos, y también este en Neverendingbooks.

Answer 5

Charles mencionó los posts "Hallazgos de la semana" sobre el terreno con un elemento. Hay varios posts, pero los siguientes enlace es probablemente el mejor lugar para empezar.