Prueba de convergencia de la serie: $\sum^\infty_{n=1}{\frac {3^n+2^n}{6^n}}$

Question

¿Converge esta serie? $$\sum^\infty_{n=1}{\frac {3^n+2^n}{6^n}}$$ $$\sum^\infty_{n=1}{\frac {3^n+2^n}{6^n}} = \sum^\infty_{n=1}{\frac {3^n}{6^n}+\frac {2^n}{6^n}}=\sum^\infty_{n=1}{\frac {1}{2^n}+\frac {1}{3^n}}$$ Desde $\sum^\infty_{n=1}\frac {1}{2^n}$ y $\sum^\infty_{n=1}\frac {1}{3^n}$ ambos convergen, ¿debe converger también su suma?

Answer 1

Sí, si $\sum a_n,\sum b_n$ convergen a $A$ y $B$ entonces $\sum (a_n+b_n)$ converge a $A+B$ .

Dado $\delta>0$ puedes encontrar $N_1,N_2$ tal que $\sum_{n=1}^Na_n$ está dentro de $\delta/2$ de $A$ si $N>N_1$ y $\sum_{n=1}^Nb_n$ está dentro de $\delta/2$ de $B$ si $N>N_2$ .

Ahora bien, si $N>\max(N_1,N_2)$ tienes $\sum_{n=1}^N(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^Na_n+\sum_{n=1}^Nb_n$ está dentro de $\delta$ de $A+B$ .