Probar la inversa de una función

Question

Dadas las siguientes funciones: $$ \begin{aligned} F(X)&=a(X \bmod b) + (X / b + X \bmod b) \bmod a \\ G(Y)&=b((Y \bmod a - Y/a) \bmod a) + Y/a \end{aligned} $$

Dónde $a$ y $b$ son alguna constante positiva, y $X/b$ es el cociente de $X$ dividido por $b$ (lo mismo para $Y/a$ ), y $X$ está entre $0$ y $(a \times b - 1)$ .

Estoy tratando de probar $G$ es la inversa de $F$ , lo que significa: $$ G(F(X)) = X $$

Así que empecé con lo siguiente: $$ \begin{aligned} G(F(X)) &= G\bigl(a(X \bmod b) + (X / b + X \bmod b) \bmod a\bigr) \\ &= b\Biggl(\biggl(\bigl(a(X \bmod b) + (X / b + X \bmod b) \bmod a \bigr) \bmod a - \bigl(a(X \bmod b) + (X / b + X \bmod b) \bmod a \bigr)/a \biggr) \bmod a \Biggr) + \bigl(a(X \bmod b) + (X / b + X \bmod b) \bmod a\bigr)/a \\ &= b\Biggl(\biggl((X / b + X \bmod b) \bmod a - (X \bmod b) \biggr) \bmod a \Biggr) + (X \bmod b) \\ \end{aligned} $$

(Perdón por el mal formato)

Mis matemáticas están un poco oxidadas, así que estoy atascado en lo anterior, ¿cómo puedo seguir adelante, o me he equivocado completamente de camino?

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $X=pb+q$ con $p=X/b$ y $q=X\bmod b$ .

Entonces

$$Y=F(X)=aq + (p + q) \bmod a$$ y

$$G(Y)=b(((p + q) \bmod a - q) \bmod a) + q.$$

Para lograr $G(Y)=X$ , deberías tener

$$((p + q) \bmod a - q) \bmod a=p,$$ que no se puede mantener si $p\ge a$ .