Subgrupos en GAP

Question

GAP tiene el mando ConjugacyClassesSubgroups que da una lista de las clases de conjugación de un grupo finito $G$ . ¿Existe alguna forma de especificar más los tipos de subgrupos que reporta GAP? Por ejemplo, ¿puedo pedirle a GAP que sólo liste clases de conjugación de subgrupos de un determinado orden o tipo de isomorfismo?

Mi pregunta es sobre los subgrupos del grupo simétrico isomorfo a otros grupos simétricos.

Gracias por sus respuestas.

Por ejemplo, he definido $S_3$ y $S_5$ y me gustaría saber el número de subgrupos en $S_5$ isomorfo a $S_3$ .

Así que la función IsomorphicSubgroups(s5,s3) permiten ver 2 tipos de clases de subgrupos en $S_5$ isomorfo a $S_3$ . Pero, ¿cómo ver el tamaño de estas clases?

Si pongo:

emb :=  IsomorphicSubgroups(s5,s3); 

Y yo pregunto:

Size(emb[1]);

Vuelve GAP: "¡Error, no se ha encontrado ningún método!"

¡Gracias por cualquier respuesta que me ayude!

Answer 1

IsomorphicSubgroups devuelve homomorfismos. El Image será el subgrupo que sea isomorfo.

Si quieres el número total de subgrupos que son isomorfos, los índices normalizadores te darán esto

Sum(emb,x->Index(s5,Normalizer(s5,Image(x))));

Sin embargo, para entender el patrón, es posible que quieras mirar primero los grupos de imágenes.

Del mismo modo, los demás grupos sustituyen S5 Por ejemplo

gap> s6:=SymmetricGroup(6);;
gap> emb:=IsomorphicSubgroups(s6,s3);
[ [ (1,2,3), (1,2) ] -> [ (1,2,3), (1,2) ],
  [ (1,2,3), (1,2) ] -> [ (3,4,5), (1,2)(3,4) ],
  [ (1,2,3), (1,2) ] -> [ (1,2,5)(3,4,6), (1,2)(3,4) ],
  [ (1,2,3), (1,2) ] -> [ (1,3,5)(2,6,4), (1,2)(3,4)(5,6) ] ]
gap> Sum(emb,x->Index(s6,Normalizer(s6,Image(x))));
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