¿Cuándo y cómo se originó la idea del producto tensorial en la historia de la mecánica cuántica?

Question

En algún momento de la historia de la mecánica cuántica, se aceptó que una sola partícula es descrita por una función de onda que es una función de la posición de la partícula $\mathbf{r}$ , denotado: $$\psi(\mathbf{r})\,.$$ En algún momento (posiblemente posterior) también se aceptó que dos las partículas son descritas por una función de onda que es una función de las posiciones de cada una de las partículas, $\mathbf{r}_1$ y $\mathbf{r}_2$ , denotado: $$\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)\,.$$ En otras palabras, el espacio de Hilbert que describe el sistema de dos partículas es el producto tensorial de los espacios de Hilbert que describen el sistema de cada partícula.

• ¿Cuándo se originó esta idea y cómo?

Entiendo que hay consecuencias importantes de la estructura del producto tensorial, principalmente enredo pero, por lo que sé, estas consecuencias fueron exploradas después de esta estructura ya fue aceptada.
Por ejemplo, en el artículo de EPR (1935) ya se daba por sentada la estructura del producto tensorial.

Para aclarar mi pregunta, he aquí una forma alternativa (falsa) que podría haberse utilizado para describir un sistema de dos partículas. Si se piensa en la partícula como un objeto "ondulatorio" (como era el caso en estos días creo), por qué no describir dos partículas con una única función de onda $\psi(\mathbf{r})$ que está normalizado:

$$ \int d\mathbf{r} |\psi(\mathbf{r})|^2 =2~, $$

es decir, "duplicar" la cantidad de la partícula. Por supuesto, en esta descripción falta mucha información en comparación con la descripción correcta, pero ¿cómo sabían los creadores de la mecánica cuántica que esta información debía estar ahí en primer lugar?
[ Editar: Como dice Luboš en su respuesta, una mejor descripción alternativa para el propósito de esta pregunta es utilizar dos funciones de onda $\psi(\mathbf{r}_1)$ y $\psi(\mathbf{r}_2)$ . Aquí también falta información, y el resto de la pregunta es la misma].

• ¿Hubo algún resultado experimental en ese momento que no pudiera explicarse con esta descripción alternativa?
• ¿Fue una mera intuición física lo que llevó a la estructura del producto tensorial?

Answer 1

Esta descripción correcta de los estados multipartícula a través de los espacios de productos tensoriales puede haber sido sorprendente para gente como Schrödinger y desde el punto de vista de la "mecánica ondulatoria", pero ha sido incorporada desde el principio en la "mecánica matricial", el enfoque de Heisenberg y sus compañeros a la mecánica cuántica.

Después de todo, las funciones de onda para una sola partícula en 3 dimensiones $$\psi(x,y,z)$$ son ya elementos del producto tensorial de 3 copias de espacios de funciones de onda para una partícula en 1 dimensión $$\psi(x).$$ Ahora, si el número de coordenadas en el espacio de configuración se aumenta de 1 ( $x$ ) no a 3 ( $x,y,z$ ) sino a $3N$ , necesitamos claramente una función de onda que dependa de todas las variables, por ejemplo $$\psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)$$ porque todas estas coordenadas son igualmente buenas en el espacio de configuración y ya sabemos que la función de onda debe ser una función definida en todo el espacio de configuración. Sería incoherente tratar $3N$ partículas de forma diferente. A la mecánica abstracta -incluso a la mecánica clásica abstracta- no le importa que las seis coordenadas pertenezcan a una o dos partículas, es sólo nuestra forma de pensar en estos grados de libertad, no una propiedad cualitativa esencial de la teoría.

Aquí no hace falta ninguna intuición ni ningún experimento. Lo que hay que entender es que los observables se convierten en operadores y los conmutadores de los observables, etc., fueron determinados por Heisenberg desde el principio e implican inmediatamente la estructura tensorial. Si todas las coordenadas en $\vec r_1$ y $\vec r_2$ conmutan entre sí, deben actuar en "direcciones" independientes de un espacio donde se define la función de onda, por lo que todo el espacio debe ser de 6 dimensiones. No hay ninguna conjetura.

De nuevo, si uno intenta pensar en la imagen de Schrödinger y dar varias interpretaciones materialistas erróneas a la función de onda, podría terminar con diferentes conjeturas - como $N$ ondas independientes en 3 dimensiones - pero si se hace realmente la "cuantización" del sistema previamente clásico de forma sistemática, según las reglas universales, y se exige que los observables se conviertan en operadores lineales cuyos conmutadores sean los correctos, toda la teoría queda completamente determinada.

No hay nada que ajustar en la descripción cuántica de un sistema de partículas que existe previamente en la mecánica clásica.

Su función de onda simple en 3 dimensiones normalizada de modo que su norma (al cuadrado) sea 2 en lugar de 1 es completamente equivalente a la función de onda para una sola partícula. Basta con tomar un $\psi$ normalizado a la unidad; $\sqrt{2}\psi$ se normaliza a su manera. La teoría es claramente equivalente y describe 1 partícula, no 2 partículas. Un intento más "prometedor" sería considerar 2 funciones de onda de 3 variables para 2 partículas. Sin embargo, observables como $\vec r_1$ y $\vec r_2$ son operadores y deben ser operadores que actúan sobre un espacio vectorial asociado a una única teoría. No tendría sentido considerar operadores que actúan sobre diferentes funciones de onda - eso sería como sumar manzanas y naranjas y uno podría definir cosas como productos (composiciones) de estos operadores.

Answer 2

Creo que Joe se pregunta por qué las funciones de onda de dos partículas no se "interfieren" o "mezclan" como en el caso de las ondas electromagnéticas/mecánicas habituales, lo que llevará a la necesidad de una sola función de onda $\psi(\vec{r})$ como mencionó.

En primer lugar voy a suponer que usted entiende claramente que las funciones de onda no están describiendo ondas reales, su nombre es engañoso, en segundo lugar tenga en cuenta que por definición, la función de onda debe tener toda la información necesaria (en otras palabras, todos los números cuánticos) que garanticen la "individualidad" de las partículas, por lo que incluso si tenemos dos partículas, para describirlas (suponemos que no estamos marcando con la mecánica estadística o el condensado de Bose-Einstein) tiene que hacerse a través de dos funciones de onda, si tratamos de hacerlo por una sola función de onda, esto conducirá a la pérdida de su "individualidad", que no es aceptable (por ejemplo, desde la perspectiva del principio de exclusión de Paule).

Para ello, escribimos que la función de onda del sistema, se puede escribir como una superposición de todos los posibles estados propios de ambos partículas, en el sentido de que si la primera partícula puede tomar los estados $1,2,3...$ mientras que el segundo los estados $a,b,c...$ entonces nuestro sistema puede estar en uno de los estados $1a,1b,...2a,2b...$ (donde $2b$ significa que la primera partícula está en el estado $1$ y en el mismo tiempo la segunda partícula está en el estado $b$ ), por lo que la intuición aquí es muy obvia creo, y esos estados 1a,2b... se llaman simplemente producto tensorial en matemáticas, por lo que no es necesario ni siquiera que los experimentos lo demuestren (porque realmente no tenemos otra forma de describir el estado del sistema si requerimos que nuestra descripción preserve la individualidad de las partículas), con una condición que es que asumimos como algo dado que todos nuestros operadores son lineales, de lo contrario poner $1a,1b...$ como posibles estados del sistema no será suficiente, porque entonces una estructura como (formalmente escrita) $1b^2, 2^3c...$ debe incluirse