Relevancia de una declaración sobre modelos de monstruos

Question

Estaba leyendo esta pregunta y me cuesta entender qué dice realmente la segunda afirmación. No sé casi nada sobre modelos de monstruos y nunca he trabajado con ellos, así que probablemente debería leer algo más de material introductorio, pero aun así me gustaría entender esa parte.

Copio a continuación esta segunda declaración de la que hablo. $p(x)$ es un tipo no necesariamente completo y $A$ y $B$ son por lo que entiendo submodelos de este modelo monstruoso (es $B$ se supone que es un submodelo elemental).

Dejemos que $A\subset B$ y $p(x)\subset L(A)$ supongamos que para cualquier solución $a$ de $p(x)$ el tipo completo sobre $B$ , $tp(a/B)$ está aislado. Demuestre que $p(x)$ está aislado.

Permítanme que intente expresar esto en un lenguaje que me resulte más familiar. Veamos $M$ sea el modelo de monstruo, y que $M_A$ sea la misma estructura pero donde añadimos una constante por elemento de $A$ a la lengua y dejar que $\DeclareMathOperator{\Typ}{Typ}\Typ_{M_A}(n)$ sea el espacio de $n$ -tipos de la teoría de $M_A$ . Entonces, por lo que tengo entendido, $p(x)$ es un conjunto cerrado en $\Typ_{M_A}(1)$ y $tp(a/B)$ es un punto de $\Typ_{M_B}(1)$ . Tenemos una función $\Typ_{M_B}(1) → \Typ_{M_A}(1)$ y el enunciado dice que si todos los puntos de la imagen inversa de $p(x) ⊆ \Typ_{M_A}(1)$ están aislados (abiertos), entonces $p(x)$ está abierto en sí mismo. Esto se deduce del hecho de que $\Typ_{M_B}(1) → \Typ_{M_A}(1)$ es sobreyectiva y continua: es entonces un cociente.

¿Es correcto lo que he dicho arriba? Si es así, no entiendo cuál es el significado de esta propiedad. Por lo que tengo entendido, cuando se trabaja con un modelo de monstruo, colocamos todo dentro de él y debería quedar "implícito" pero facilitar los argumentos. Nunca he trabajado con un modelo de monstruo, así que no sé realmente lo que está pasando aquí: ¿qué dice la propiedad anterior sobre una incrustación $A⊆B$ entre dos estructuras cuando olvidamos que hay un modelo de monstruo?

Answer 1

Hay un par de cuestiones planteadas en su pregunta que quiero abordar, por lo que esta respuesta puede parecer un poco desenfocada.

1. Algunos comentarios sobre la terminología y la notación:

• Prefiero no utilizar la palabra "aislado" para describir un parcial tipo (posiblemente incompleto). Prefiero llamar a un tipo de este tipo "equivalente a una fórmula" o "finitamente axiomatizable" o incluso "clopen". Prefiero reservar la palabra "aislado" para los tipos completos (ya que cuando un tipo completo es equivalente a una fórmula, es un punto aislado del espacio de Stone). Utilicé la palabra "aislado" en mi respuesta a la pregunta que enlazaste porque quería seguir la terminología de la OP - probablemente debería haber hecho también este comentario allí.
• La notación estándar para el espacio de Stone de los completos $n$ -tipos relativos a una teoría $T$ es $S_n(T)$ . El $S$ representa el espacio de la piedra. A menudo, queremos considerar tipos con parámetros procedentes de un subconjunto $A$ de algún modelo $M$ (tipos en $A$ ). Entonces escribimos $S_n(A)$ como abreviatura de $S_n(\text{Th}(M_A))$ . Esto es lo mismo que denota $\text{Typ}_{M_A}(n)$ .
• Otra convención notacional común en la teoría de modelos es utilizar letras simples para denotar las tuplas por defecto. Así, por ejemplo $p(x) = \text{tp}(a/B)$ podría ser un elemento de $S_n(B)$ si $x = (x_1,\dots,x_n)$ y $a = (a_1,\dots,a_n)$ . Esta convención no es universal, pero realmente reduce la notación - y en muchas situaciones, no hay realmente ninguna diferencia significativa entre los singletons y las tuplas.

2. Bien, ahora veamos la declaración (reescrita de la forma en que yo la plantearía):

Dejemos que $A\subseteq B$ sean conjuntos, y que $p(x)$ sea un tipo parcial sobre $A$ . Supongamos que para cualquier realización $a$ de $p(x)$ , $\text{tp}(a/B)$ está aislado en $S_n(B)$ . Demostrar que $p(x)$ es equivalente a una fórmula sobre $A$ .

Tienes razón en que esta afirmación "tiene lugar en el modelo de monstruo". Aquí está la misma declaración, reescrita para que el modelo de monstruo $\mathbb{M}$ explícito:

Dejemos que $A\subseteq B$ sean subconjuntos de $\mathbb{M}$ y que $p(x)$ sea un tipo parcial sobre $A$ . Supongamos que para cualquier realización $a\in \mathbb{M}$ de $p(x)$ , $\text{tp}(a/B)$ está aislado en $S_n(B)$ . Demostrar que $p(x)$ es equivalente a una fórmula sobre $A$ .

Si abandonamos por completo la convención del modelo de monstruo, ésta es la traducción correcta de la afirmación:

Dejemos que $A\subseteq B$ sean subconjuntos de un modelo $M$ y que $p(x)$ sea un tipo parcial sobre $A$ . Supongamos que para cualquier realización $a\in N$ de $p(x)$ en una extensión elemental $M\preceq N$ , $\text{tp}(a/B)$ está aislado en $S_n(B)$ . Demostrar que $p(x)$ es equivalente a una fórmula sobre $A$ .

Tenga en cuenta, en particular, que $A$ y $B$ son sólo conjuntos de parámetros, no modelos. La ventaja de la convención del modelo monstruoso aquí es que no tenemos que cuantificar sobre modelos y extensiones elementales cada vez que tenemos una alternancia de cuantificadores en el enunciado. Nunca tenemos que pasar a una extensión elemental, porque todo lo que encontraríamos en una extensión elemental "ya está ahí" en el monstruo.

3. Su prueba topológica de la afirmación es correcta. Observa que estás utilizando implícitamente dos hechos en la prueba: (1) todo conjunto cerrado en el espacio de Stone $S_n(A)$ es definible mediante una fórmula sobre $A$ (por eso basta con demostrar que el conjunto cerrado definido por $p(x)$ también es abierto), y (2) todo mapa continuo suryente de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un mapa cociente. Esto se corresponde aproximadamente con los dos pasos principales de la prueba "concreta" que di en la respuesta a la pregunta enlazada: (1) El uso del teorema de la compacidad para mostrar que $p(x)$ es equivalente a una disyunción finita de fórmulas sobre $B$ y (2) el hecho que he citado de que si un conjunto definible por una fórmula sobre $B$ es invariable sobre $A$ entonces el conjunto es realmente definible por una fórmula sobre $A$ .

4. En cuanto a "¿cuál es el significado de esta propiedad?" ... Bueno, para ser sincero, el enunciado en cuestión no me parece realmente tan interesante o útil. Uno podría verlo como una generalización del hecho básico (e importante) de que si un tipo parcial $p(x)$ es algebraica (sólo tiene un número finito de realizaciones), entonces es equivalente a una fórmula. Enumerar las realizaciones de $p(x)$ como $b_1,\dots,b_k$ y que $B = A\cup \{b_1,\dots,b_k\}$ . Entonces cada realización de $p(x)$ tiene un tipo completo sobre $B$ que se aísla mediante una de las fórmulas $x = b_i$ . Aplicando nuestra propiedad, podemos concluir que $p(x)$ es equivalente a una fórmula sobre $A$ .] Ciertamente, los tipos aislados son muy importantes en la teoría de modelos, y también podría imaginar nuestra propiedad como un paso en una demostración sobre modelos atómicos o primos, o sobre el rango de Morley. Por lo menos, es un buen ejercicio para practicar pensando en los espacios de Stone.