Demostrar que dos espacios topológicos son homeomorfos

Question

Dejemos que $I^2$ sea el cuadrado $\{(x, y) ∈ \Bbb R^2: 0 \leq x, y \leq 1\}$

$C$ sea el círculo $\{(x, y) \in \Bbb R^2: 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4\}$ , considerados como subespacios de $\Bbb R^2$ en la topología habitual.

Tengamos relaciones de equivalencia $∼$ y $≈$ en $I^2$ y $C$ respectivamente por

$(x, y) ∼ (x, y)\ \forall (x, y) \in I^2$ , $(0, y) ∼ (1, y)$ y $(x, 0) ∼ (x, 1)$ si $0 \leq x, y \leq 1$

$(x, y) ≈ (x, y)\ \forall(x, y) \in C,\ (x, y) ≈ (2x, 2y)$ si $x^2 + y^2 = 1$ .

Cómo demostrar que $[S^2]_∼$ y $[C]_≈$ son homeomórficos en sus respectivas topologías cotizadas?

Estoy tratando de visualizar una prueba de imagen, es decir, ver los espacios cotizados como homeomorfos al toro; pero no estoy seguro de que eso ayude

Answer 1

No estoy escribiendo una respuesta pero la sección de comentarios no es apropiada para esto, puedes tomarlo como una respuesta.

Utilizando el hecho en la respuesta aquí basta con demostrar que el Disco y el Cuadrado Sólido son homeomorfos. Véase aquí para la prueba. Para visualizar cómo el cuadrado es homeomorfo al círculo aquí hay una imagen. Espero que esto funcione.