Número de caras con 4 vértices

Question

En un $3$ -regular (todos los vértices tienen grado $3$ ), plano y gráfico conexo $G$ Todas las caras tienen $4$ o $6$ bordes (incluso la cara ilimitada). ¿Cuántas caras tiene $4$ ¿bordes?

Dadas las propiedades del gráfico, sabemos que:

$$\left\{ \begin{gathered} v - e + f = 2 \hfill \\ 3v = 2e \hfill \\ 3v \geqslant e + 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} v - e + f = 2 \hfill \\ e \geqslant 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

La primera es la fórmula de Euler, la segunda se derivó del hecho de que la suma de todos los grados es $2*|E|$ y la tercera viene del hecho de que el gráfico es plano y conectado.

¿Cómo es posible encontrar el número de caras con sólo $4$ ¿bordes?

Answer 1

Puede calcular el $F_4=6$ . Utilice $$F = F_4+F_6$$ $$ 3V\overset{1.}{=}2E \overset{2.}{=} 4F_4+6F_6,$$ desde $1.$ el gráfico es $3$ -regular y $2.$ cada cara aporta sus aristas dos veces. Sustituimos esta información en la fórmula de Euler $6(V-E+F)=6\cdot 2$ y conseguir:

$$ 6V-6E+6F = 12\\ 4E-6E+6F = 12\\ 6F-2E = 12\\ 6( F_4+F_6)-(4F_4+6F_6)=12\\ 2F_4+0F_6 = 12\\ F_4=6 $$

Answer 2

Que haya $F$ caras de 4 bordes y $S$ Caras de 6 bordes. Como todas las aristas son compartidas por dos caras, tenemos $\frac{4F+6S}2=2F+3S$ bordes. Dado que el gráfico es 3-regular, $4F+6S$ Los medios bordes se juntan en un tercio o $\frac43F+2S$ vértices.

Entonces la fórmula de Euler da $$\frac43F+2S-2F-3S+F+S=2$$ $$\frac13F=2$$ $$F=6$$ Por lo tanto, siempre hay seis caras de cuatro aristas, como se puede ver en los gráficos del cubo y del octaedro truncado.