Encuentre $\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right)\cdots\left(1+\frac{n}{n^2}\right)$

Question

Problema: encontrar $\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left( 1+\frac{2}{n^2}\right)\cdots\left(1+\frac{n}{n^2}\right)$

Mi opinión: Tomando el registro y obtenemos $\sum_{k=1}^{n}\ln(1+\frac{k}{n^{2}})$ . Hay una desigualdad en otro problema, que dice: $$\frac{k}{n+k}\lt \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\lt\frac{k}{n}, \forall k \in N^{+} $$ . Así que creo que puedo usarlo aquí. Enchufar $n^2$ y sumar sobre k, obtenemos $$\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2+k}\lt \sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right) \lt\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}=\frac{1}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}$$ De todos modos, el límite es $\sqrt{e}$ (Así que si tomamos el límite de ambos lados de la desigualdad anterior, debería ser $\frac{1}{2}$ y el lado derecho es justo), pero no puedo ir más allá con el lado izquierdo.

Se agradece cualquier pista.

Answer 1

Una pista:

Desde $1\le k\le n,$

$$\frac{k}{n^2+k}\ge\frac{k}{n^2+n}\implies \sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k}\ge\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+n}=\frac1{n^2+n}\sum_{k=1}^nk$$

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Enfoque alternativo:

Una pista:

Considere $$\lim_{n\to\infty}(1+\frac k{n^2})^{n^2}=e^k$$

$$\lim_{n\to\infty}\ln(1+\frac k{n^2})^{n^2}=\lim_{n\to\infty}n^2\ln(1+\frac k{n^2})=k$$

$$\lim_{n\to\infty}\ln(1+\frac k{n^2})=\lim_{n\to\infty}\frac k{n^2}$$

Answer 2

En la suma inferior, estimar $k/(n^2+k)$ por $k/(n^2+n)$ y ya está.