El cálculo de pi manualmente

Question

Hipotéticamente se le puso en matemáticas de la cárcel y el carcelero dice que va a dejar salir sólo si usted puede dar a él 707 dígitos de pi. Usted puede tener una resma de papel y un par de lápices, computadoras, libros, anterior pi de la memorización o de la ayuda del exterior.

¿Cuál es la mejor fórmula para usar? Donde el mejor resultado en el menor margen de error (lo más importante) y es decentemente rápido (segundo en importancia).

707 probablemente parece arbitraria, pero la saqué de aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/William_Shanks

También yo realmente no entiendo cómo se puede usar esa fórmula porque pensé que necesitas una tabla para obtener arctan valores o probablemente tomaría mucho tiempo para que los valores de arctg para usar en la fórmula, pero que no es demasiado importante.

Hice esta pregunta porque hoy se celebra la más precisa el día de pi para los próximos 100 años :)

Answer 1

Como metioned en Wikipedia la biografía, los Mangos se utiliza la fórmula de Machin $$\pi = 16\arctan(\frac15) - 4\arctan(\frac1{239})$$

La manera estándar de uso que (y de los diversos Machin-como fórmulas que se encuentran más adelante) es calcular la arctangents usando el poder de la serie

$$\arctan x = x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}5 - \frac{x^7}7 + \frac{x^9}9 - \cdots$$

$\Arctan(\frac15)$ a 707 dígitos requiere alrededor de 500 términos calculado para que la precisión. Cada uno requiere de dos divisiones: una de dividir el anterior numerador por 25, otro para la dividimos por el denominador.

La serie para $\arctan(\frac1{239})$ converge más rápido y sólo necesita unos 150 términos.

(Usted puede saber cómo muchos de los términos que usted necesita, porque la serie es alterna (y absolutamente disminución) -- así que una vez que llegue a un término que es más pequeño que la precisión deseada, usted puede parar).

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El punto de Machin fórmulas como es que la serie por $\arctan x$ converge más rápido que el más pequeño de $x$ es. Podríamos calcular $\pi$ $4\arctan(1)$, pero la serie converge histéricamente lentamente cuando $x$ es tan grande como $1$ (y no en todos, si es aún mayor). El truco encarnada por Machin la fórmula para expresar un ángulo recto como una suma/diferencia de los ángulos y esquinas de (un pequeño número de diferentes tamaños) de largo y fino triángulos rectángulos con un simple entero de las relaciones entre el cathetes.

El arco tangente se hace más fácil para calcular el más largo y más delgado cada triángulo, y especialmente si el vecino es un múltiplo entero de la opuesta, que corresponde a los ángulos de la forma $\arctan\frac{1}{\text{algo}}$. A continuación, ir de un numerador en la serie a el próximo cuesta sólo una división, en lugar de una división y una multiplicación.

Machin observó que cuatro copias de la $5$-$1$-$\sqrt{26}$ triángulo hace el mismo ángulo, como un $1$-$1$-$\sqrt2$ triángulo (cuyo ángulo es de $\pi/4$), además de una $239$-$1$-$\sqrt{239^2+1}$ triángulo. Estos hechos pueden ser calculadas utilizando exactamente las técnicas que se muestran aquí.

Más tarde, los trabajadores han encontrado mejores variantes de Machín de la idea, la tuerca, si estás en prisión sin obras de referencia, es probablemente más fácil para redescubrir Machin de la fórmula recordando que un cierto número de copias de $\arctan\frac1k$ para algunos bastante pequeño $k$ suma a algo muy cercano a 45°.

Answer 2

Si pi es un número normal, usted puede darle cualquier secuencia de 707 números y que están garantizados para ser de los dígitos de pi...

Answer 3

Gauss–Legendre algoritmo es muy buena, sólo utiliza cuatro operación elemental y raíz cuadrada; también converge muy rápido.

Answer 4

La siguiente fórmula por Ramanujan le da 8 correcto de dígitos decimales para cada $k$.

$$\pi = \left( \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} \right)^{-1}.$$

Si se calcula la suma parcial de $k=0$ para $88$, entonces usted recibirá $712$ corregir dígitos de $\pi$.

Answer 5

La mano de él 707 dígitos, comenzando con 111111, a continuación, pasar a 222222 y 3333 y así sucesivamente. Llame a su carcelero y le diga lo que tiene 707 dígitos de pi. De la bondad de su corazón, se ofrecen para ayudarle a poner en el orden correcto después de que él permite.