¿Es esta una caracterización del resolvente?

Question

Estoy tratando de entender una afirmación que está en unas notas que estoy leyendo ahora mismo. Es la siguiente.

"Dejemos $T$ sea un operador acotado y autoadjunto, $\eta\in\mathbb{R}, \eta\neq 0$ y que $H$ sea un espacio de Hilbert. Se puede demostrar fácilmente que $(T-i\eta)^{-1}$ está acotado a partir de $H$ a sí mismo. Por lo tanto, es el resolvente de $T$ ."

No entiendo por qué la limitación de $(T-i\eta)^{-1}$ implica que es el resolvente de $T$ . Es una especie de caracterización?

He buscado algo en la web, pero no he encontrado nada. ¿Podría alguien ayudarme, por favor? También algunas referencias serán bien aceptadas.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $T$ es acotado y autoadjunto, entonces $\sigma(T)\subseteq\mathbb{R}$ (ver Espectro del operador autoadjunto en el espacio de Hilbert real ). Sin embargo, el espectro se define como un subconjunto de $\mathbb{C}.$ Tomando complementos, se consigue que $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}\subseteq \rho(T).$ Es decir, si $\eta\in\mathbb{R},$ entonces $i\eta\in\rho(T).$ Así, el resolvente $R_\eta:=(T-i\eta)^{-1}$ está definida, y está acotada, por ejemplo, por el teorema de la inversa acotada.

Si $(T-i\eta)^{-1}$ existe, entonces significa que $i\eta$ está en el conjunto de resolventes de $T$ y $(T-i\eta)^{-1}$ se llama el resolvente de $T$ . Es el definición del resolvente.