Soy un principiante que intenta aprender sobre las poleas. Estoy intentando leer el libro de Masaki Kashiwara "Sheaves on Manifolds", pero me parece que no es fácil de entender.
¿Qué otros libros debería leer primero, con pocos conocimientos sobre el álgebra abstracta y el álgebra homológica?
El El libro de Kashiwara es bastante centrado y técnico. No lo recomendaré como una introducción a las gavillas, ya que el lenguaje abstracto de las gavillas y el álgebra homológica es más útil cuando ya se conoce una gran clase de ejemplos .
Si estás pensando en abordar la geometría algebraica algún día, puede ser una buena idea empezar a leer sobre ella ahora. Cualquier libro técnico, por ejemplo Hartshorne u otros sugeridos en esta pregunta del modus operandi contendrá material como gavillas, funtores, funtores derivados, dualidad de Verdier, etc.
También hay mejores lugares para aprender sobre los módulos D y cosas relacionadas; por ejemplo, nota el libro de Kashiwara dice:
(p.411) Aunque las gavillas perversas tienen una corta historia ...
y, de hecho, 30 años después hay bastantes introducciones a las gavillas perversas que son más fáciles de leer.
No sé sobre la microlocalización, tal vez este tema debería ser efectivamente leído de Kashiwara.
Ahora podremos recomendarte un texto más específico si nos dices para qué piensas leer exactamente Kashiwara y dónde te quedas.
Personalmente no recomiendo el libro de Bredon, sino el de Iversen "Cohomology of sheaves" (especialmente si te interesan los aspectos topológicos/aplicaciones de la teoría de gavillas).
También está "Sheaves in topology" de Dimca. Sin embargo, debo decir que el epígrafe de este libro (muy bueno) es "No dispares al pianista", y quizá no sin razón.
Si te gusta más la geometría algebraica, entonces deberías leer el capítulo 2 de Hartshorne.
Una referencia clásica es "Topologie alge\'ebrique et th\'eorie des faisceaux" de Godement.
Los prerrequisitos para todos ellos son algo de álgebra (las definiciones de un anillo y un módulo, básicamente, pero si nunca has visto complejos antes, puedes encontrar la presentación un poco densa al principio; también necesitarás algo de álgebra conmutativa si estás leyendo a Hartshorne), algo de topología general básica (y también algo de teoría de variedades suaves, por ejemplo, particiones de la unidad, en el caso del libro de Iversen) y algo de teoría de categorías. Podrías empezar a leer a Hartshorne o a Iversen (dependiendo de cuál sea el objetivo) y luego buscar las nociones categóricas que no te resulten familiares en "Categories for the working mathematician" de MacLane o en Wikipedia.
Suponiendo que ya conoces el álgebra de pregrado (y tal vez un poco de álgebra homológica básica ya), el libro Methods of Homological Algebra de Gelfand y Manin es una buena fuente para el tipo de cosas en el primer capítulo más o menos de Kashiwara-Schapira, es decir, categorías derivadas, funtores derivados. No recuerdo lo elemental que es su teoría de gavillas, pero un poco de experiencia en teoría de gavillas tampoco vendría mal. El libro de Swan es probablemente un punto de partida más amable para la teoría de gavillas que Bredon.
Creo que el primer volumen de Harder Conferencias sobre geometría algebraica contiene una exposición agradable y equilibrada de la teoría de gavillas y la cohomología de gavillas. Además del título, no es realmente un libro sobre geometría algebraica. En cambio, hay muchos ejemplos de topología algebraica y superficies de Riemann. Aunque hay que tener en cuenta que el libro contiene muchas erratas.
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