Igualdad lógica

Question

Tengo estas dos afirmaciones, y tengo que decidir si son lógicamente equivalentes.

$$\forall x\in M : p(x)\land q(x)$$

y

$$(\forall x\in M : p(x)) \land (\forall x \in M : q(x))$$

Mi respuesta es sí. Pero no estoy seguro, porque tengo que hacer muchas de estas preguntas y mi respuesta a todas ellas es "sí", lo que me ha hecho sospechar un poco.

Answer 1

La respuesta es sí. Para ello consideremos la definición del valor de verdad de $\forall x:\varphi(x)$ . Esta frase es verdadera si y sólo si para cada $x\in M$ la fórmula $\varphi$ es cierto para $x$ .

Esto puede parecer circular, sin embargo miramos la estructura $M$ y si podemos decir externamente que cada $x$ satisface $\varphi$ entonces $M$ satisface $\forall x:\varphi(x)$ .

---

Ahora supongamos que en $M$ lo siguiente es cierto $\forall x: (p(x)\land q(x))$ .

1. Eso para decir que por cada $x\in M$ la sentencia $p(x)\land q(x)$ es cierto en $M$ .

2. Por lo tanto, para cada $x$ (en $M$ ) tenemos que $p(x)$ sostiene y $q(x)$ se mantiene (simplemente porque $p(x)\land q(x)$ se mantiene si y sólo si $p(x)$ y $q(x)$ aguantar).

3. Así que por cada $x\in M$ tenemos que $p(x)$ Por lo tanto $\forall x:p(x)$ y para todos $x\in M$ tenemos $q(x)$ Así que $\forall x:q(x)$ .

4. Por lo tanto, la conjunción de estas afirmaciones es verdadera.

Por el contrario, supongamos que en $M$ es cierto que $\forall x:p(x)\land \forall x:q(x)$ .

1. Por cada $x\in M$ entonces $p(x)$ y $q(x)$ ambos se mantienen, desde la suposición.

2. Así que por cada $x\in M$ tiene $p(x)\land q(x)$ .

3. Así, en $M$ es cierto que $\forall x : (p(x)\land q(x))$ .