La respuesta es sí. Para ello consideremos la definición del valor de verdad de ∀x:φ(x) . Esta frase es verdadera si y sólo si para cada x∈M la fórmula φ es cierto para x .
Esto puede parecer circular, sin embargo miramos la estructura M y si podemos decir externamente que cada x satisface φ entonces M satisface ∀x:φ(x) .
Ahora supongamos que en M lo siguiente es cierto ∀x:(p(x)∧q(x)) .
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Eso para decir que por cada x∈M la sentencia p(x)∧q(x) es cierto en M .
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Por lo tanto, para cada x (en M ) tenemos que p(x) sostiene y q(x) se mantiene (simplemente porque p(x)∧q(x) se mantiene si y sólo si p(x) y q(x) aguantar).
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Así que por cada x∈M tenemos que p(x) Por lo tanto ∀x:p(x) y para todos x∈M tenemos q(x) Así que ∀x:q(x) .
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Por lo tanto, la conjunción de estas afirmaciones es verdadera.
Por el contrario, supongamos que en M es cierto que ∀x:p(x)∧∀x:q(x) .
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Por cada x∈M entonces p(x) y q(x) ambos se mantienen, desde la suposición.
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Así que por cada x∈M tiene p(x)∧q(x) .
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Así, en M es cierto que ∀x:(p(x)∧q(x)) .