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Igualdad lógica

Tengo estas dos afirmaciones, y tengo que decidir si son lógicamente equivalentes.

xM:p(x)q(x)

y

(xM:p(x))(xM:q(x))

Mi respuesta es sí. Pero no estoy seguro, porque tengo que hacer muchas de estas preguntas y mi respuesta a todas ellas es "sí", lo que me ha hecho sospechar un poco.

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DanV Puntos 281

La respuesta es sí. Para ello consideremos la definición del valor de verdad de x:φ(x) . Esta frase es verdadera si y sólo si para cada xM la fórmula φ es cierto para x .

Esto puede parecer circular, sin embargo miramos la estructura M y si podemos decir externamente que cada x satisface φ entonces M satisface x:φ(x) .


Ahora supongamos que en M lo siguiente es cierto x:(p(x)q(x)) .

  1. Eso para decir que por cada xM la sentencia p(x)q(x) es cierto en M .

  2. Por lo tanto, para cada x (en M ) tenemos que p(x) sostiene y q(x) se mantiene (simplemente porque p(x)q(x) se mantiene si y sólo si p(x) y q(x) aguantar).

  3. Así que por cada xM tenemos que p(x) Por lo tanto x:p(x) y para todos xM tenemos q(x) Así que x:q(x) .

  4. Por lo tanto, la conjunción de estas afirmaciones es verdadera.

Por el contrario, supongamos que en M es cierto que x:p(x)x:q(x) .

  1. Por cada xM entonces p(x) y q(x) ambos se mantienen, desde la suposición.

  2. Así que por cada xM tiene p(x)q(x) .

  3. Así, en M es cierto que x:(p(x)q(x)) .

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