La derivación adecuada de la aceleración centrípeta -sin asumir que ninguna variable cinemática es constante- requiere una sólida comprensión tanto de los vectores unitarios cartesianos estacionarios $\hat{i}$ y $\hat{j}$ así como los vectores unitarios polares rotativos $\hat{e}_r$ y $\hat{e}_\theta$ . Los vectores unitarios cartesianos $\hat{i}$ y $\hat{j}$ son estacionarios y siempre están alineados con los ejes X e Y respectivamente, mientras que los vectores polares unitarios $\hat{e}_r$ y $\hat{e}_\theta$ giran con una velocidad angular de $\omega=\|\dot{\theta}\|$ y apuntan en las direcciones de radio y ángulo crecientes (respectivamente). El gráfico incluido a continuación muestra los dos pares de vectores base superpuestos.
![Coord]()
El vector de posición del objeto se define obviamente como:
$\vec{p}(t)=x\hat{i}+y\hat{j}=rcos(\theta)\hat{i}+rsin(\theta)\hat{j}$ ,
con
$\|\vec{p}(t)\|=\sqrt{(rcos{\theta})^2+(rsin{\theta})^2}=\sqrt{r^2(sin^2(\theta)+cos^2(\theta))}=r\sqrt{(1)}=r$
De forma menos evidente, se puede demostrar que los vectores polares unitarios $\hat{e}_r$ y $\hat{e}_\theta$ puede expresarse únicamente en términos de los vectores unitarios cartesianos $\hat{i}$ y $\hat{j}$ y la posición angular $\theta$ como,
$\boxed{\hat{e}_r=cos(\theta)\hat{i}+sin(\theta)\hat{j}}$ y $\boxed{\hat{e}_\theta=-sin(\theta)\hat{i}+cos(\theta)\hat{j}}$ .
Estas dos ecuaciones son extremadamente importantes, ya que serán la clave para expresar la aceleración cartesiana en coordenadas polares, de las cuales uno de los términos será nuestro deseado $v^2/r=\omega^2r$ aceleración centrípeta. Al avanzar, la aceleración vectorial del objeto en coordenadas cartesianas es simplemente
$\vec{a}(t)=\frac{d^2}{dt^2}\left[\vec{p}(t)\right]=\ddot{x}\hat{i}+\ddot{y}\hat{j}$ .
A partir de $x=rcos(\theta)$ y $y=rsin(\theta)$ y diferenciando una vez, tenemos
$\boxed{\dot{x}=\dot{r}cos(\theta)-r\dot{\theta}sin(\theta)}$ y $\boxed{\dot{y}=\dot{r}sin(\theta)+r\dot{\theta}cos(\theta)}$ .
Diferenciando de nuevo, tendremos
$\ddot{x}=\ddot{r}cos(\theta)-\dot{r}\dot{\theta}sin(\theta)-\dot{r}\dot{\theta}sin(\theta)-r\frac{d}{dt}\left[\dot{\theta}sin(\theta)\right]$
$=\ddot{r}cos(\theta)-2\dot{r}\dot{\theta}sin(\theta)-r\left[\ddot{\theta}sin(\theta)+{\dot{\theta}}^2cos(\theta)\right]$ , de tal manera que
$\boxed{\ddot{x}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)cos(\theta)+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})(-sin(\theta))}$ .
Del mismo modo, la aceleración y $\ddot{y}$ se convierte en
$\ddot{y}=\ddot{r}sin(\theta)+\dot{r}\dot{\theta}cos(\theta)+\dot{r}\dot{\theta}cos(\theta)+r\frac{d}{dt}\left[\dot{\theta}cos(\theta)\right]$
$=\ddot{r}sin(\theta)+2\dot{r}\dot{\theta}cos(\theta)+r\left[\ddot{\theta}cos(\theta)-{\dot{\theta}}^2sin(\theta)\right]$ , de tal manera que
$\boxed{\ddot{y}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)sin(\theta)+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})cos(\theta)}$ .
Ahora, debemos introducir estas derivadas escalares en nuestra formulación para la aceleración vectorial. En coordenadas cartesianas, esto es
$\vec{a}(t)=\ddot{x}\hat{i}+\ddot{y}\hat{j}=\{(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)cos(\theta)+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})(-sin(\theta))\}\hat{i}+\{(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)sin(\theta)+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})(cos(\theta))\}\hat{j}$
que se puede reordenar de la siguiente forma:
$\vec{a}(t)=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\{cos(\theta)\hat{i}+sin(\theta)\hat{j}\}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\{-sin(\theta)\hat{i}+cos(\theta)\hat{j}\}$
Pero como ya hemos visto, esto es simplemente igual a
$\boxed{\boxed{\vec{a}(t)=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\hat{e}_r+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{e}_\theta}}$
Como podemos apreciar ahora al realizar la derivación completa, en realidad hay dos a las aceleraciones radial y tangencial. El $\ddot{r}$ es directamente igual a la segunda derivada de la magnitud del vector de posición. El segundo término, $r\dot{\theta}^2$ es nuestro tan buscado aceleración centrípeta $r\dot{\theta}^2=\omega^2r=v^2/r$ y (como era de esperar) señala en el negativo dirección radial. Los términos tangenciales son quizás un poco menos intuitivos. El $r\ddot{\theta}$ es la aceleración que se produce cuando el radio y la aceleración angular $\ddot{\theta}$ son ambos distintos de cero (imagine la aceleración tangencial de un álabe de turbina de un motor a reacción cuando el motor se pone en marcha). El último término $2\dot{r}\dot{\theta}$ es lo que comúnmente se conoce como Coriolis aceleración y se produce siempre que el radio y el ángulo cambian simultáneamente. Surge porque, para una velocidad angular dada, la longitud de arco recorrida cada segundo aumenta con el radio (la velocidad tangencial aumenta con el radio). Por lo tanto, un objeto con una velocidad angular dada tendrá diferentes velocidades tangenciales en diferentes radios locales de rotación. Si el radio cambia con el tiempo ( $\dot{r}\not=0$ ) y la velocidad angular $\dot{\theta}$ no es igual a cero, entonces la velocidad tangencial cambiará con el tiempo, lo que es por definición una aceleración tangencial.
