Determinantes de la matriz de bloques

Question

Tenía una duda, ¿se puede aplicar el determinante de una Matriz 2x2 a: $$\begin{vmatrix} E_{m} & A \\ B & E_{n} \\ \end{vmatrix}$$ con $A \in K^{m\times n}$ y $B \in K^{n\times m}$ y $E$ como matriz de identidad de respectivamente $K^{m\times m}, K^{n\times n}$ para que sea $E_{m}E_{n}-AB$ también cuando el producto matricial para el $E$ s no está definido?

Answer 1

$$\pmatrix{E&A\\B&E}=\pmatrix{E-AB&A\\O&E}\pmatrix{E&O\\B&E}$$ etc.