Si $P$ es proyectiva y $A,B$ son sumandos directos de $P$ entonces $A\cap B$ es un sumando directo de $P$

Question

Tengo que demostrar que si $P$ es un módulo proyectivo sobre $\mathbb Z$ y $A,B$ son sumandos directos de $P$ entonces $A\cap B$ es un sumando directo de $P$ .

Esto, a su vez, implicaría que si $A$ y $B$ son proyectivas entonces $A\cap B$ es proyectiva. (Ya que $A$ y $B$ serían sumandos directos de $A+B$ que claramente también es proyectiva.

Answer 1

Tenemos una secuencia exacta $0\to P/A\cap B\stackrel{f}\to P/A\oplus P/B$ . (Definir $f(x)=(x,-x)$ .) Entonces $P/A\cap B$ es un submódulo de un módulo proyectivo que sobre $\mathbb Z$ es gratis, así que $P/A\cap B$ también es gratuito.