Así que hago lo siguiente: $$\int_{-1}^{1}\int_0^{\sqrt{1-x^2}} \int_0^{y} \,dzdydx$$ , pero la respuesta me da $\frac{2}{3}$ como grafica un cilindro debe ser la mitad de la mitad de un cilindro de altura y radio 1: ( $\frac{\pi}{4}$ ) 
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Consulte la figura:
$\hspace{7cm}$
Obsérvese que el volumen por debajo del plano azul no es igual al volumen por encima de él.
El volumen por debajo del plano azul (como has calculado): $$B=\int_{-1}^{1}\int_0^{\sqrt{1-x^2}} \int_0^{y} \,dzdydx=\int_{-1}^{1}\int_0^{\sqrt{1-x^2}} y \,dydx=\\ \int_{-1}^{1} \frac{y^2}{2} \big{|}_0^{\sqrt{1-x^2}} \,dx= \int_{-1}^1 \frac12(1-x^2) \,dx=\frac12\left(x-\frac{x^3}{3}\right)|_{-1}^1=\\ \frac12\left[\frac23+\frac23\right]=\frac23.$$ El volumen por encima del plano azul (como señala David Mitra): $$A=\int_{-1}^{1}\int_0^{\sqrt{1-x^2}} \int_y^1 \,dzdydx= \int_{-1}^{1}\int_0^{\sqrt{1-x^2}} (1-y) \,dydx=\\ \int_{-1}^{1}\int_0^{\sqrt{1-x^2}} \,dydx-\int_{-1}^{1}\int_0^{\sqrt{1-x^2}} y \,dydx=\\ \frac{\pi}2-\frac23.$$ Por lo tanto, como era de esperar: $$A+B=\frac{\pi}{2}.$$
