En la obra de Hartshorne Geometría algebraica está escrito que "Una gavilla es, a grandes rasgos, una pregavilla cuyas secciones (es decir, elementos de $\mathcal{F}(U)$ para el subconjunto abierto $U$ ) están determinados por los datos locales". ¿Qué significa esto? ¿Qué son los datos locales?
Después de este comentario, Robin Hartshorne dio una definición de gavilla ("...una gavilla es una presheaf que satisface cierta condición extra...") que entendí pero no sentí.
¡Muchas gracias!
Para un presheaf, dadas dos secciones $s,t\in\mathcal{F}(U)$ , se puede hacer que coincidan en todos los barrios, pero que sean diferentes. Es decir, si $U_i$ es una cubierta abierta de $U$ y $s|_{U_i}=t|_{U_i}$ para cada $i$ entonces si se tiene un presheaf, es posible que $s\neq t$ aunque esta condición se cumpliera para cada una de las tapas abiertas de $U$ . En una gavilla, los datos locales (que son los conjuntos de la cubierta) determinan realmente la sección de forma única.
La otra mitad de ser una gavilla dice que sus secciones pueden estar pegadas. Es decir, supongamos que tenemos secciones $s_i$ sobre conjuntos abiertos $U_i$ , de manera que la restricción de $s_i$ y $s_j$ a $U_i\cap U_j$ acuerdo para todos $i,j$ . Nos gustaría poder pegar estas secciones, lo que sólo podemos hacer si tienes una gavilla. Si tienes una gavilla, entonces tienes la garantía de que todas tus secciones $s_i$ son sólo las restricciones de alguna sección de $\mathcal F(\bigcup_i U_i)$ .
Si pensamos en las secciones como funciones (que es lo que deberíamos hacer), los axiomas de la gavilla sólo dicen que podemos pegar funciones compatibles entre sí, y que cualquier función está determinada de forma única por lo que hace en los conjuntos abiertos de nuestro espacio. Un corolario de esto es que cuando se tiene una gavilla, basta con definir su comportamiento en una cubierta abierta de su espacio, y esto determinará de forma única el valor de su gavilla en cualquier subconjunto abierto. Para un presheaf, dar sus valores en una cubierta abierta no es suficiente para determinar su presheaf de forma única.
El Artículo de Wikipedia sobre poleas constantes tiene un ejemplo de un presheaf sobre el conjunto con dos elementos (el presheaf constante) y demuestra exactamente por qué ambos axiomas fallan en cada caso, y luego da una construcción de la sheafificación.
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