Ideales / Descomposición de la suma directa

Question

Dejemos que $u = (u_1 , \ldots , u_n ) \in \mathbb{A}^n$ . Sea $I$ sea el ideal de $A = \mathbb{C}[x_1 , \ldots x_n ]$ generado por los elementos $x_1 - u_1 , \ldots , x_n - u_n$ .

(i) Demuestre que como $\mathbb{C}$ -espacio vectorial, $A = \mathbb{C} \oplus I$ .

(ii) Demuestre que $A/I$ es un campo.

Answer 1

Una pista: Intenta definir un homomorfismo de anillo $\mathbb C[x_1, \ldots, x_n] \to \mathbb C$ por $x_i \mapsto u_i$ . A continuación, piensa en cuál es el núcleo de este homomorfismo.