Sea D un dominio en $\Bbb C$ y que $z_0 \in$ D. Si una función $f:$ D \ { $z_0$ } $\rightarrow \Bbb C$ tiene un polo simple en $z_0$ ¿es cierto que $g$ tiene un doble polo en $z_0$ , donde $g(z) = [f(z)]^2 $ $\forall z \in$ D\ { $z_0$ }
Definición de un polo: Si existe $m\in \Bbb Z^+$ tal que $b_m \neq 0$ para todos $n>m$ (es decir, la parte principal tiene un número finito de términos distintos de cero) de modo que
$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n + \frac{b_1}{z-z_0} + \frac{b_2}{(z-z_0)^2} +...+ \frac{b_m}{(z-z_0)^m}$$
Por favor, ayúdame a comprobar mi respuesta:
$z_0$ es el polo simple de $f(z) \Rightarrow$ existe una función h que es analítica (es decir, holomorfa) en algún dominio D - { $z_0$ } s.t. $f(z) = \displaystyle\frac{h(z)}{z-z_0}$ , $\forall z \in$ D y $h(z_0) \neq 0$
$g(z) = [f(z)]^2 = \displaystyle\frac{[ h(z)]^2}{(z-z_0)^2}$ , $z \in$ D - { $z_0$ }
Dado que el único punto singular en $g(z)$ es $z_0$ , $g(z)$ es analítica en todas partes excepto en $z_0$ $\Rightarrow$ $g(z)$ también es analítica en D - { $z_0$ } $\Rightarrow [h(z)]^2$ también es analítica en D - { $z_0$ }, $(h(z_0))^2 \neq 0$
Por lo tanto, $g$ tiene un doble polo en $z_0$
