Probar si una función al cuadrado tiene doble polo en $z_0$

Question

Sea D un dominio en $\Bbb C$ y que $z_0 \in$ D. Si una función $f:$ D \ { $z_0$ } $\rightarrow \Bbb C$ tiene un polo simple en $z_0$ ¿es cierto que $g$ tiene un doble polo en $z_0$ , donde $g(z) = [f(z)]^2$ $\forall z \in$ D\ { $z_0$ }

Definición de un polo: Si existe $m\in \Bbb Z^+$ tal que $b_m \neq 0$ para todos $n>m$ (es decir, la parte principal tiene un número finito de términos distintos de cero) de modo que

$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n + \frac{b_1}{z-z_0} + \frac{b_2}{(z-z_0)^2} +...+ \frac{b_m}{(z-z_0)^m}$$

Por favor, ayúdame a comprobar mi respuesta:

$z_0$ es el polo simple de $f(z) \Rightarrow$ existe una función h que es analítica (es decir, holomorfa) en algún dominio D - { $z_0$ } s.t. $f(z) = \displaystyle\frac{h(z)}{z-z_0}$ , $\forall z \in$ D y $h(z_0) \neq 0$

$g(z) = [f(z)]^2 = \displaystyle\frac{[ h(z)]^2}{(z-z_0)^2}$ , $z \in$ D - { $z_0$ }

Dado que el único punto singular en $g(z)$ es $z_0$ , $g(z)$ es analítica en todas partes excepto en $z_0$ $\Rightarrow$ $g(z)$ también es analítica en D - { $z_0$ } $\Rightarrow [h(z)]^2$ también es analítica en D - { $z_0$ }, $(h(z_0))^2 \neq 0$

Por lo tanto, $g$ tiene un doble polo en $z_0$

Answer 1

$\;z_0\;$ es un polo simple de $\;f(z)\;$ si hay una holomorfa $\;h\;$ en algún dominio $\;D_0-\{z_0\}\;$ s.t.

$$f(z)=\frac{h(z)}{(z-z_0)}\;\;,\;\;\forall\,z\in D_0\;\;\;\text{and}\;\;\;h(z_0)\neq 0$$

A partir de aquí, tenemos que

$$\forall\,z\in D_0-\{z_0\}\;\;,\;\;\;g(z):=f(z)^2=\frac{h^2(z)}{(z-z_0)^2}$$

Pruebe ahora $\;h(z)^2\;$ es holomorfo en $\;D_0-\{z_0\}\;$ y $\;h(z_0)^2\neq 0\;$ y ya está...

Answer 2

Sugerencia : Utiliza la definición de polo simple para demostrar que $f$ puede representarse como $$f(z)=\frac{h(z)}{z-z_{0}}$$ donde $$h(z_{0})\neq0$$