Cálculo de la función de transferencia de impulsos

Question

Me han encargado que demuestre que la función de transferencia de impulsos G(z) de la siguiente planta \begin {ecuación}G_p(s) = {12 \over (s+1)(s+4)} \end {ecuación} siendo muestreada y mantenida por una retención de orden cero con un periodo de muestreo T = 0,2s es igual a \begin {equipo}G(z) = {0,1745z^{-1}+0,1249z^{-2} \over1 -1.268z^{-1}+0.3678z^{-2} } \end {Ecuación}

Empecé por combinar la planta con la bodega para obtener \begin {equation} {12(1-e^{-sT}) \over s(s+4)(s+1)} \end {Ecuación}

Lo sé. \begin {equation} {(1-e^{-sT})} \end {Ecuación} es igual a

\begin {equation} {(z-1)/z} \end {Ecuación}

y dividí la ecuación restante en fracciones parciales, encontré la transformada z de cada una, y las recombiné para obtener,

\begin {equation}{0.173z^{-1}+0.126z^{-2} \over1 -2.27z^{-1}+1.64z^{-2}-0.368z^{-3} } \end {Ecuación} combinado con la transformada z de la retención, esto es igual a

\begin {equipo}G(z) = {0,173-0,047z^{-1}-0,126z^{-2} \over z-2.27+1.64z^{-1}-0.368z^{-2} } \end {Ecuación}

Esto no es igual a la función de transferencia que debo obtener- ¿Alguien ve lo que estoy haciendo mal?

Answer 1

Has utilizado la expresión correcta para la retención de orden cero, y la función de transferencia es efectivamente: \begin {Ecuación} H(s) = \dfrac {12(1-e^{-sT})}{s(s+1)(s+4)} \end {ecuación} Sin embargo, no está claro cómo has procedido desde aquí. Parece que simplemente has sustituido s por z ( z es en realidad igual a e sT ) y luego dividir la función en fracciones parciales.

Como alternativa, puede encontrar primero h(t) y luego encontrar H(z) :

\begin {eqnarray} H(s) &=& \dfrac {12(1-e^{-sT})}{s(s+1)(s+4)} \\ &=& (1-e^{-sT}) \left \{ \dfrac {3}{s} - \dfrac {4}{s+1} + \dfrac {1}{s+4} \right \} \end {eqnarray} Tomando la transformada inversa de Laplace: \begin {eqnarray} h(t) &=& f(t)u(t) - f(t-T)u(t-T) \end {eqnarray} donde \begin {Ecuación} f(t) = 3 - 4e^{-t} + e^{-4t} \end {Ecuación} H(z) ahora se puede encontrar desde h(t) . Puede consultar en este enlace una tabla de fórmulas: http://lpsa.swarthmore.edu/LaplaceZTable/LaplaceZFuncTable.html

Answer 2

Hay un factor común de \$\small (z-1)\$ en el numerador y el denominador de tu expresión final. Cancela estos y te quedas con:

$$\small G(z)=0.17\frac{z(z+0.73)}{z^2-1.29z+0.38}$$

comparar con su expresión objetivo requerida: \begin {Ecuación} \small G(z) = {0,1745z^{-1}+0,1249z^{-2} \over1 -1.268z^{-1}+0.3678z^{-2} } =0.1745 \frac {z(z+0.7158)}{z^2-1.268z+0.3678} \end {Ecuación}

Nota: He trabajado con potencias positivas de z (¡más fácil de escribir en el solucionador de raíces!) y he redondeado todos los cálculos a 2 p.d.

\$Addendum\$

Para ilustrarlo, consideremos el sencillo proceso TF: \$\small G_p(s)=\large\frac{1}{s+1}\$ y muestra/retención: \$\small G_H(s)=\large\frac{1-e^{-sT}}{s}\$ .

El TF combinado es: $$\small G(s)=\frac{(1-e^{-sT})}{s}\times \frac{1}{(s+1)}\small=(1-e^{-sT})\frac{1}{s(s+1)}=(1-e^{-sT})\left( \frac{1}{s}-\frac{1}{s+1} \right)$$

Tomar transformaciones z: $$\small G(z)=\frac{z-1}{z}\left( \frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-a} \right)$$ donde \$\small a=e^{-T}\$

Si se evalúa primero el paréntesis, tenemos:

$$\small G(z)= \frac{(z-1)}{z}\times\frac{z(1-a)}{(z^2-(1+a)z+a)}=\frac{(1-a)(z-1)}{(z^2-(1+a)z+a)} $$ ...y el \$\small (z-1)\$ en el denominador no es evidente.

Sin embargo, al multiplicar por \$\frac{(z-1)}{z}\$ primero, da la forma simplificada: $$\small G(z)=1-\frac{z-1}{z-a}=\frac{1-a}{z-a} $$