¿Pueden los vectores base tener fracciones?

Question

Así que estaba diagonalizando una matriz en un libro, y uno de los vectores base era [3/2, 1], después de hacer el problema, la respuesta en el libro era diferente a la mía. Venía con una explicación, y en ella el vector base era [3,2]. Son lo mismo, solo que son múltiplos uno del otro, así que tenía curiosidad, ¿es obligatorio sacar fracciones de un vector base?

Answer 1

No lo es. Si $v$ es un miembro de alguna base, entonces podemos sustituir $cv$ para cualquier constante no nula $c$ de los reales (o del campo subyacente en el caso general).

Answer 2

En resumen, la respuesta es no, no es obligatorio - pero hay cierta confusión terminológica tanto en la pregunta como en otras respuestas, sobre la que intentaré decir algo.

No deberías decir eso $(3,2)$ y $(\frac{3}{2},1)$ son la misma cosa - no lo son - pero son múltiplos escalares el uno del otro. Esto significa que ambos son bases para el mismo $1$ -espacio dimensional (aunque no la misma base). Dado que mencionas una matriz, probablemente estés buscando vectores propios (es decir, una base de cada espacio propio), por lo que podría ser menos confuso decir vector propio que vector base (o no, dependiendo del contexto).

Un punto más: hay más cosas que son espacios vectoriales que $\mathbb{Q}^n$ Por lo tanto, no siempre tiene sentido "quitar las fracciones". (Incluso en $\mathbb{R}^n$ ningún múltiplo escalar de $(1,\pi)$ tiene entradas enteras, y hay espacios vectoriales como el conjunto de funciones continuas $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ cuyos elementos no son "listas de números").

Answer 3

Usted tiene razón y ellos también. Esto se debe a que la multiplicación por constantes distintas de cero no afecta al ámbito de la base ni a la independencia lineal de los vectores en esa base. Deberías ser capaz de ver esto de forma bastante obvia una vez que pienses en ello.