Entender el significado de ij en una suma doble de Riemann (integral doble)

Question

Tengo problemas para entender lo que el ( $x^*_{ij} $ , $y^*_{ij}$ ) en este diagrama (marcado con un círculo azul) está explicando. Lo que sí sé es que $i$ es la iteración del $x$ La suma de Riemann y la $j$ es la iteración para el $y$ Suma de Riemann. Lo que me cuesta es entender por qué $x$ necesita la $j$ y $y$ necesita la $i$ . ¿No podría el $P$ se puede representar simplemente como ( $x^*_i$ , $y^*_j$ )?

Answer 1

El índice doble es necesario para especificar un punto intermedio en un subrectángulo de partición de la forma más general para construir una suma de Riemann.

Para definir la integral doble sobre el rectángulo $[a,b]\times [c,d]$ debemos especificar primero una partición $P = (P_1, P_2)$ donde $P_1$ es una partición de $[a,b]$ definido por puntos $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$ y $P_2$ es una partición de $[c,d]$ definido por puntos $c = y_0 < y_1 < \ldots < y_m = d$ . La partición $P$ puede verse entonces como el conjunto de los rectángulos de seguridad $R_{ij} =[x_{i-1}, x_i] \times [y_{j-1}, y_j] = \{(x,y): x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_i, \, y_{j-1} \leqslant y \leqslant y_j\}$ para $i = 0,1,\ldots n$ y $j = 0,1,\ldots,m$ .

Una suma de Riemann se define entonces por

$$S(P,f) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(x^*_{ij},y^*_{ij})\,(x_i-x_{i-1})\,(y_j - y_{j-1}),$$

donde el punto intermedio o etiqueta $(x^*_{ij},y^*_{ij})$ puede ser cualquier punto en el subrectángulo cerrado $R_{ij}$ . Recordemos que la teoría es que las sumas de Riemann convergen a la integral a medida que la malla de la partición (área del mayor subrectángulo de la partición) tiende a $0$ , independientemente de cómo se seleccionan los puntos intermedios.

Si hubiéramos especificado el punto intermedio para $R_{ij}$ como $(x^*_{i},y^*_{j})$ entonces los puntos no serían completamente arbitrarios en el sentido de que todos $m$ subrectángulos con índice fijo $i$ y $j$ que van desde $1$ a $m$ tendría puntos intermedios con el mismo $x-$ componente $x^*_i$ (así como una restricción similar en $y^*_j$ por el hecho de ser fijo $j$ ).

Esta especificación restringida de los puntos intermedios no es inaceptable: las sumas de Riemann definidas de este modo seguirán convergiendo a la integral. Sin embargo, la integral de Riemann puede definirse de forma mucho más general utilizando puntos completamente arbitrarios $(x^*_{ij},y^*_{ij})$ .