Comprobar si una función es inyectiva y sobreyectiva

Question

Estoy haciendo la pregunta del examen pasado y me encontré con la siguiente pregunta:

Para cada una de las siguientes funciones, decida si es inyectiva y sobreyectiva. Justifica tu respuesta.

$f: $ { $-1, 0, 1$ } $\to$ { $-1, 0, 1$ }

$f(x) = x^3$

$g: $ { $0, 1$ } $\to$ { $0, 1, 2, 3, 4, 5$ }

$g(x) = 3x + 1$

Hace poco que he empezado a estudiar las funciones, así que esperaba comprobar mis respuestas aquí, porque no tengo acceso a un esquema de calificación.

Mis respuestas y razonamientos:

$f$ es no inyectiva, porque $\pm x \neq \pm x$

$f$ es sobreyectiva porque el codominio { $-1, 0 ,1$ } $=$ la gama { $-1, 0 ,1$ }

$g$ es inyectiva, porque $x = x$

$g$ es no es subjetiva, porque el codominio { $0, 1, 2, 3, 4, 5$ } $\neq$ la gama { $1, 4$ }

Por favor, indíqueme si he cometido algún error en mis respuestas o razonamientos. Gracias.

Answer 1

Otra forma de pensar en ello.

Si $f:X\to Y$ es una función, entonces para cada $y\in Y$ tenemos el conjunto $f^{-1}(\{y\}):=\{x\in X\mid f(x)=y\}$ .

(los subconjuntos no vacíos de esta forma son las llamadas fibras de $f$ y forman una partición de $X$ )

En base a eso se puede decir:

• $f$ es inyectiva si $f^{-1}(\{y\})$ tiene como máximo un elemento por cada $y\in Y$ .
• $f$ es proyectiva si $f^{-1}(\{y\})$ tiene al menos un elemento por cada $y\in Y$ .

Por lo tanto, la comprobación de una función sobre la inyectabilidad y/o la subjetividad se reduce a comprobar cómo los conjuntos $f^{-1}(\{y\})$ comportarse.

Answer 2

Creo que has entendido el concepto de sobreinyección pero no el de inyección.

Una función $h$ es inyectiva si $h(a)=h(b)$ implica que $a=b$ . De forma equivalente, si $a \neq b$ entonces $h(a) \neq h(b)$ .

$f$ es inyectiva porque $f(-1)=-1, f(0)=0, f(1)=1$ podemos ver que las imágenes son distintas. Por lo tanto, es inyectiva.

$g(0)=1$ y $g(1)=4$ De nuevo, es inyectiva.