Demostrar que $n^{\alpha}X_{n} \xrightarrow{n \to \infty} +\infty$ casi seguramente

Question

Dejemos que $(X_{n})_{n}$ sea una secuencia de variables aleatorias que se distribuyen idénticamente en $\mathcal{U}(0,1)$ . Además, dejemos que $\alpha > 1$ .

Demostrar que $n^{\alpha}X_{n} \xrightarrow{n \to \infty} +\infty$ casi seguramente

Mi idea: Que $\epsilon > 0$

$\sum_{n \in \mathbb N}P(n^{\alpha}X_{n} \leq \epsilon)=\sum_{n \in \mathbb N}P(X_{n} \leq \frac{\epsilon}{n^{\alpha}})=\sum_{n \in \mathbb N}\frac{\epsilon}{n^{\alpha}}<\infty$ desde $\alpha > \infty$

Por lo tanto, por Borel-Cantelli, $P(\limsup_{n \to \infty}\{n^{\alpha}X_{n} \leq \epsilon\})=0$

Esto significa, $\exists N \in \mathbb N$ para que $n^{\alpha}X_{n} > \epsilon$ para todos $ n \geq N$ casi seguramente PERO $\epsilon>0$ se eligió de forma arbitraria y por lo tanto $(n^{\alpha}X_{n})_{n\in \mathbb N}$ no está acotado a.s.

$\Rightarrow$ $n^{\alpha}X_{n} \xrightarrow{n \to \infty} +\infty$ a.s.

¿Es correcto mi razonamiento?

Answer 1

Su lógica está esencialmente bien.

Probablemente cambiaría el nombre de $\epsilon$ a otra cosa, ya que en última instancia se quiere pensar que es un gran número positivo.

Además, cuando se escribe $$\sum_{n \in \mathbb N}P(X_{n} \leq \frac{\epsilon}{n^{\alpha}})=\sum_{n \in \mathbb N}\frac{\epsilon}{n^{\alpha}}$$

Esto debería ser $\le$ en lugar de $=$ porque es posible que $\epsilon/n^\alpha$ sea mayor que 1, en cuyo caso $P(X_n \le \epsilon/n^\alpha)$ es simplemente 1. Pero sigues teniendo lo que quieres.