grupo nilpotente de clase 2

Question

¿Puede demostrar que $\,exp(G/Z(G))=2 \Longrightarrow exp(G')=2$ ?

Mi intento es: claramente $\,G/Z(G)\,$ es un grupo abeliano, por lo que G es nilpotente de clase 2 y tenemos [G',G]=1 si x G' entonces [x,g]=1 g G entonces G'Z(G).

Pero no puedo demostrar que O(x)=2

Answer 1

Lema Dejemos que $G$ sea un grupo y $x_1, x_2, ... x_n \in G$ con $x_1\cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n \in Z(G)$ . Entonces $x_1\cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n =x_2\cdot x_3 \cdot ... \cdot x_n \cdot x_1$ (en otras palabras, los elementos del producto pueden permutarse cíclicamente).
Prueba . Desde $x_1\cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n \in Z(G)$ , $x_1^{-1} \cdot x_1\cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n \cdot x_1 = x_1\cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n \square$ .

Ya se observó que $G' \subset Z(G)$ por lo que por el lema $[x,y]= x^{-1}y^{-1}xy= y^{-1}xyx^{-1}$ . Porque $exp(G/Z(G))=2$ se deduce que $x^2 \in Z(G)$ , digamos que $x^2 = z$ De ahí que $x = x^{-1}z$ con $z \in Z(G)$ . Ahora sustituye : $y^{-1}xyx^{-1} = y^{-1}(x^{-1}z)y(xz^{-1}) = y^{-1}x^{-1}yx$ ya que $z \in Z(G)$ . Ahora tenemos que $[x,y]= [y,x] = [x,y]^{-1}$ . Concluimos que $exp(G')=2$ .