continuidad de cierto mapa que se define en un espacio Stonean

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo discreto que actúa de forma continua sobre un espacio Stoneano $\Omega$ . Considere el mapa $f\colon \Omega\to \{0,1\}^G$ enviando $x\in \Omega$ a $\chi_{G_x}$ , donde $\chi_{G_x}$ denota la función característica del estabilizador $G_x$ .

¿Por qué es $f$ ¿constantemente?

Podemos restringir a los subconjuntos de la topología del producto y para $g\in G$ fijada, basta con considerar las preimágenes de $\{0\}\times \{0,1\}^{G\setminus \{g\}}$ y $\{1\}\times \{0,1\}^{G\setminus \{g\}}$ en $f$ que debe estar abierto en $\Omega$ . Que $f^{-1}(\{0\}\times \{0,1\}^{G\setminus \{g\}}) $ está abierto en $\Omega$ se puede ver utilizando que en el espacio de Hausdorff $\Omega$ la diagonal $\{(x,x)\in \Omega\times \Omega\mid x\in \Omega\}$ está cerrado en $\Omega\times \Omega$ pero sin usar eso $\Omega$ es Stonean.

Por lo tanto, mi pregunta se reduce a: ¿Por qué $ f^{-1}(\{1\}\times \{0,1\}^{G\setminus \{g\}}) $ abrir en $\Omega$ ? Creo que para demostrar esto, se debe utilizar que $\Omega$ es Stoneano y probablemente ayuda saber que en un espacio Stoneano, el cierre de conjuntos abiertos disjuntos es de nuevo disjunto.

El fondo de mi pregunta es el siguiente: Actualmente estoy leyendo el documento https://arxiv.org/pdf/1509.01870.pdf y que $f$ es continua se utiliza en la demostración del Teorema 4.1, dirección $<=$ .

Answer 1

Es cierto: siempre que un grupo discreto $G$ actúa de forma continua en un espacio de Hausdorff, extremadamente desconectado $X$ , entonces el mapa $x\mapsto G_x$ es continua, donde el conjunto de subgrupos de $G$ está dotado de su topología compacta dada por la inclusión en $2^G$ .

Hay que demostrar que para cualquier $g\in G$ el mapa $u_g:x\mapsto \chi_{G_x}(g)$ , $X\to\{0,1\}$ es continua. Es decir, que $u_g^{-1}(\{0\})$ y $u_g^{-1}(\{1\})$ están cerradas.

Que $u_g^{-1}(\{0\})=\{x:gx=x\}$ es cerrado se mantiene siempre que $G$ actúa de forma continua en un espacio topológico de Hausdorff. (Es falso cuando $X$ no se supone Hausdorff).

La afirmación es que $u_g^{-1}(\{1\})=\{x:gx\neq x\}$ está cerrado para cada $g$ .

Supongamos lo contrario: esto significa que existe $x_0\in X$ tal que $gx_0=x_0$ y $x_0$ está en el cierre de $\{x:gx\neq x\}$ . Dejemos que $V\subset X$ un subconjunto abierto, máximo por la propiedad de que $V\cap gV=\emptyset$ .

Reclamación: si $X$ es Hausdorff, entonces $x_0$ pertenece al cierre de $V$ . En efecto, dejemos que $U$ sea el complemento de este cierre. Si por contradicción $x_0\in U$ , defina $U'=U\cap g^{-1}U$ : se trata de un barrio abierto de $x_0$ . Por supuesto, existe $x\in U'$ con $gx\neq x$ . Usando eso $X$ es Hausdorff, se puede encontrar una vecindad abierta $V'$ de $x$ con $V'\subset U'$ y $V'\cap gV'=\emptyset$ . Entonces, tomando $V\cup V'$ contradice la maximalidad de $V$ .

Pero entonces $x_0$ también pertenece al cierre de $gV$ . Asumiendo que $X$ es extremadamente desconectado, esto contradice que $V$ y $gV$ son disjuntos.

Este último argumento muestra de forma más general que para cualquier auto-mapa continuo $g$ de un espacio Hausdorff extremadamente desconectado $X$ el subconjunto cerrado $\{x:g(x)=x\}$ también está abierto.