¿Cómo se llama esta distribución?

Question

Cuál es el nombre oficial de esta distribución, $$k\exp(-\lambda|x|^\alpha),$$ donde $\alpha$ suele ser menor que 1, pero mayor que 0? Y lo que es más importante, ¿podría alguien decirme cuál es la varianza de esta distribución? Muchas gracias.

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( Editar: 7 oct '13 a las 21:37) Gracias a todos.

Esta distribución puede llamarse distribución normal generalizada, cuya forma estándar es

$$f(x)=\beta/2\alpha\Gamma(1/\beta)\exp(-|(x-\mu)/\alpha|^\beta)$$

cuya varianza es $$\alpha^2 \Gamma(3/\beta)/\Gamma(1/\beta)$$

Answer 1

Aunque Nadarajah (2005) haya utilizado el término "Normal generalizada" para describir una densidad que anida esta forma, hay nombres más adecuados que se remontan mucho más atrás en el tiempo y que, en consecuencia, parecen mucho más apropiados.

En particular, creo que esto debería denominarse propiamente como un Distribución de subbots (Subbotin 1923). Otras referencias posteriores son:

• Diananda (1949)

• Turner (1960)

• Zeckhauser y Thompson (1970)

• McDonald y Newey (1988)

• Mineo y Ruggieri (2005)

La forma funcional dada por Subbotin (1923) define el pdf como

$$f(x) = \frac{\alpha }{2 b \Gamma \left(\frac{1}{\alpha }\right)}\text{exp}\left[-\left|\frac{x}{b}\right|^{\alpha }\right]$$

Parámetro utilizado por Subbotin $b = 1/h$ pero la forma funcional es, por lo demás, idéntica a la dada aquí. En esta forma: $$Var(X) = \frac{b^2 \Gamma \left(\frac{3}{\alpha}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{\alpha}\right)}$$

Aquí hay un gráfico del pdf con $b=2$ como parámetro $\alpha>1$ varía:

(fuente)

y de nuevo para el parámetro $0<\alpha<1$ :

(fuente)

Otros nombres son: Distribución Box-Tiao (McDonald y Newey 1988), y Power-Exponencial (McDonald y Newey 1988, Johnson et al. 1995). Por último, cabe señalar que algunos trabajos económicos atribuyen indebidamente el nombre de "distribución Subbotin" a una distribución Exponencial-Power que tiene una forma funcional diferente.

Referencias

• Subbotin, M.T. (1923), Sobre la ley de la frecuencia del error, Matematicheskii Sbornik , 31, 296-301.

• Diananda, P. H. (1949), Note on some properties of maximum likelihood estimates, Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 45, 536-544.

• Turner, M. E. (1960), On heuristic estimation methods, Biometría , 16(2), 299-301.

• Zeckhauser, R. y Thompson, M. (1970), Linear regression with non-normal error terms, La Revista de Economía y Estadística , 52, 280-286.

• McDonald, J. B. y Newey, W. K. (1988), Partially adaptive estimation of regression models via the generalized t distribution, Teoría econométrica , 4, 428-457.

• Mineo, A. M. y Ruggieri, M. (2005), A software tool for the Exponential Power distribution: the normalp package, Revista de Software Estadístico , 12(4), 1-21.

Answer 2

Según Maple, la varianza es $$ \dfrac{\sqrt{3}\; 27^{1/\alpha}}{6\pi} \Gamma\left(\dfrac{3+\alpha}{3\alpha}\right) \Gamma\left(\dfrac{3+2\alpha}{3\alpha}\right) \lambda^{-2/\alpha} $$