Si $f \in L^p$ y $g \in L^q$ ¿Qué podemos decir sobre $fg$ ?

Question

Hemos aprendido en clase que si $f \in L^p$ y $g \in L^q$ y $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} =1$ entonces $fg \in L^1$ . Llevo un tiempo buscando una fórmula más general, pero es sorprendentemente difícil de encontrar. Supongo que eso significa que la generalización obvia, a saber $$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r} \rightarrow fg \in L^r$$ no es cierto. Mi pregunta es simplemente: ¿es esto cierto, y si no, cuál es un contraejemplo sencillo?

Además, ¿hay algo que digamos sobre $fg$ ¿a este nivel de generalidad?

Este es un caso especial que realmente funciona.

Answer 1

Se desprende de la $r=1$ caso. Para simplificar, supongamos que $f$ y $g$ son reales y positivos. Obsérvese que si $\frac 1 p+\frac 1 q=\frac 1 r$ entonces $\frac r p + \frac r q = 1$ y $f^r\in L^{\frac{p}{r}}$ y $g^r\in L^\frac{q}{r}$ Así que $(f^rg^r)=(fg)^r\in L^1$ pero esto equivale a $fg\in L^r$ .

Como Sangchul Lee señaló en un comentario, también tienes una variante de la desigualdad de Hölder en este caso: $$\lVert fg\rVert_r\leq \lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_q$$

Se deduce de la desigualdad básica de Hölder utilizando el mismo truco. También se puede encontrar en Wikipedia .