En general, si una pregunta sobre Math SE puede responderse con un simple sí o no, entonces es casi seguro que la pregunta está fuera de tema. Parece haber un consenso en la comunidad de que este tipo de problemas de verificación de pruebas son no fuera de tema, por lo que una respuesta correcta a esta pregunta no puede ser un simple sí o no. Por ello, debo suponer que la pregunta se refiere más bien a la estilo de la presentación, no los detalles técnicos reales.
Debo señalar que gran parte de mi respuesta es una cuestión de opinión; otros autores pueden tener ideas diferentes sobre cuestiones específicas de estilo. Por lo tanto, si hay algún punto pedante con el que no esté de acuerdo, por favor, no lo tenga en cuenta.
Empezando por arriba, encuentro el enunciado del resultado un poco difícil de seguir, y lo reescribiría como
Ejercicio: Demuestre que el conjunto $$ K = \{ c \in \mathbb{R}^n \mid c_1 + c_2t + \dotsb + c_n t^{n-1} \ge 0 \forall t \in [0,1] \} $$ es un cono. Es decir, para todo $x\in K$ y todos $\theta \ge 0$ , demuestran que $\theta x \in K$ .
Las modificaciones, de muy poca importancia, son principalmente para facilitar la lectura: la ecuación mostrada es un poco más fácil de seguir, y la reestructuración de la frase final para evitar la notación que sigue inmediatamente a una coma es (en mi opinión) una mejora.
En cuanto a su prueba (que está correctamente argumentada), aquí está su presentación, con algunas notas:
Consideremos $x \in K$ .
Personalmente, no me gusta la frase "Consideremos..." Me parece excesivamente informal y, además, carente de sentido. Prefiero escribir en un modo más imperativo y utilizar verbos más precisos. Creo que es mejor decir "Consideremos $x \in K$ ," o "Fijar un $x\in K$ o algo similar. También podría decir "Considere $x\in K$ Si realmente estás apegado a ese verbo.
También es posible que quiera fijar un valor de $\theta$ aquí también. Recuerda que quieres demostrar que el resultado deseado se mantiene para cualquier $x\in K$ y cualquier $\theta \ge 0$ . ¿Por qué no fijar ambos valores desde el principio?
Tenemos $\sum\limits_{i=1}^n{x_{i} t^{i-1}} \ge 0, \space t ∈ [0,1]$
De nuevo criticando el estilo, no me gusta mucho el uso del "nosotros matemático". Sé que mucha gente lo utiliza; yo incluso lo uso bastante cuando no me preocupa mucho la calidad de la presentación, o cuando escribo rápidamente (a modo de ejemplo, la semana pasada me pasé un par de horas eliminando cada instancia de "nosotros" de mi tesis). Creo que es mejor ser más directo. Tal vez una declaración "si-entonces", como "Si $t \in [0,1]$ entonces...". Incluso sería mejor explicar de dónde viene la desigualdad, es decir, "Como $x \in K$ ..."
Para $\theta \ge 0$ entonces tenemos
$\sum\limits_{i=1}^n{\theta x_{i} t^{i-1}} = \theta \sum\limits_{i=1}^n{x_{i} t^{i-1}}$
Si sigues mi sugerencia anterior y arreglas $\theta$ antes en el argumento, entonces toda esta línea es innecesaria. Además, debería "mostrarse" utilizando $$ Esto evita el uso de \limits que es un estilo pobre para las matemáticas en línea (en lugar de mostrarlas).
Además, ¿qué es $t$ ? (ver más abajo)
ya que ambos $\theta$ y el polinomio [1] $\sum\limits_{i=1}^n{x_{i} t^{i-1}}$ [2] son mayores o iguales que $0$ , nosotros [3] debe tener
$\sum\limits_{i=1}^n{\theta x_{i} t^{i-1}} = \theta \sum\limits_{i=1}^n{x_{i} t^{i-1}} \ge 0$ [4]
Un par de comentarios aquí:
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Me resulta un poco incómodo llamar a la suma un polinomio y luego declarar que el polinomio es no negativo. En general, un polinomio es un objeto abstracto, y $t$ es una variable formal. Alternativamente, se puede ver la suma como un polinomio función que se evalúa con un valor determinado de $t$ . Creo que sería mejor llamarlo simplemente "suma".
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¿Qué es? $t$ ? ¿Dónde has declarado que $t \in [0,1]$ ? Usted dice al principio que si $t\in [0,1]$ y luego ocurren otras cosas bonitas. Esto no describe claramente cada uso posterior de $t$ en el resto del argumento.
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Una vez más, deja de lado el "nosotros" matemático. :\N-No.
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De nuevo, muestra las matemáticas. Además, las frases terminan con puntos.
Así, $x \in K$ , $\theta \ge 0$ $\rightarrow$ $\theta x \in K$ .
Por lo tanto, $K$ es un cono. $\square$
Mucho de esto es redundante. Tanto $x$ y $\theta$ están definidos anteriormente, y ha demostrado que $\theta x \in K$ . Hecho. Todo lo demás es superfluo. También me opongo al uso excesivo de la notación en un entorno inline. Si vas a escribir todos estos detalles, por favor escríbalos : "Así, si $x \in K$ y $\theta \ge 0$ entonces $\theta x \in K$ . Por lo tanto, $K$ es un cono.
Mi presentación de su prueba es la siguiente:
Prueba: Dejemos que $x = (x_1, \dotsc, x_n) \in K$ y arreglar $\theta > 0$ . Por definición de $K$ , $$ \sum_{j=1}^{n} x_j t^{j-1} \ge 0 $$ para todos $t \in [0,1]$ . Entonces $$ \sum_{j=1}^{n} (\theta x_j) t^{j-1} = \theta \sum_{j=1}^{n} x_j t^{j-1} \ge 0 $$ para cualquier $t\in [0,1]$ como los dos $\theta$ y la suma $\sum x_jt^{j-1}$ son no negativos. Por lo tanto, $\theta x = (\theta x_1, \dotsc, \theta x_n) \in K$ .
Observaré que en la penúltima frase, he escrito $\sum x_jt^{j-1}$ (y hemos omitido los límites de la suma). Esto es un abuso de la notación, pero debería quedar claro por el contexto. También he sustituido los índices de la suma por $j$ s en todo, ya que me gusta reservar $i$ para la unidad imaginaria. Esta es una completamente Un cambio pedante e innecesario, pero creo que mejora mi vida.
