Necesito saber si hay un error en estas notas :
En la segunda página tenemos una representación de una función $f(x)$ como $\sin$ serie. ¿No necesitamos tener $f(0)=0=f'(l)$ para que dicha representación sea cierta? De nuevo en esa segunda página tenemos un ejemplo con $f(x)=5$ . Estoy totalmente confundido.
No. En este nivel, para este tipo de problema, el comportamiento de la función en individual puntos no importa realmente. Esto se debe a que ahora estás traduciendo los problemas al álgebra lineal: buscas una base de funciones que se ajuste al problema en cuestión, expresas el problema en términos de esa base y la utilizas para resolver el problema.
En este caso, se trata de resolver la ecuación del calor en $[0,10]$ con condiciones de contorno de Dirichlet. Consulte la página 1: el conjunto de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias que satisfacen los valores de contorno es un conjunto de funciones propias del operador de la segunda derivada. Si es posible, sería bueno expresar su condición inicial $f(x) = u(x,0)$ como una combinación lineal de estas funciones propias a fin de utilizar 46.3 para llegar a una solución $u(x,t)$ .
Resulta que estos senos son ortogonales según el producto interior $\langle u,v\rangle = \int uv\ dx$ Así que después de normalizarlos, puedes (con suerte) escribir $$ f(x) = \sum \langle f,X_n\rangle X_n. $$ Una vez hecho esto, aplica el 46,3 y gana.
Este es el punto crítico en relación con su pregunta. La integración no "ve" lo que ocurre en los puntos individuales, o incluso en los conjuntos de medida cero. Esta suma converge a $f$ casi en todas partes . Resulta, y este es el punto de toda esta máquina teórica, que la convergencia en casi todas partes es suficiente para hablar de ecuaciones diferenciales y sus soluciones.
Uno de los grandes avances en las EDP fue la reinterpretación -creo que a mediados del siglo XX- de una ecuación diferencial parcial lineal general como un problema de álgebra lineal. Esta es la generalización del análisis de Fourier que estás haciendo ahora.
El estudio de los espacios de funciones desde la perspectiva del álgebra lineal, y la introducción de herramientas como el $L^2$ producto interno, es inmensamente productivo en el estudio de las EDP. Para una clase de operadores llamada "elíptica", que incluye el operador de segunda derivada de la ecuación del calor, se pueden encontrar las llamadas soluciones "débiles": soluciones que funcionan casi en todas partes.
Tienes razón en que la serie de abajo no converge a $f$ tal que $f$ es idéntico $5$ en $\mathbb{R}$ : $$u(x,0)=\sum_{n=1}^\infty\frac{10}{(2n-1)\pi}\sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{2l}\right)$$ Si se lee con atención el documento, se dice específicamente que, en cambio, esta serie converge a algo que coincide con $f$ en $(0,\infty)$ con una extensión impar; converge a: $$\tilde f(x)=\left\{\begin{array}{l}5\quad\text{ where } x> 0\\0\quad\text{ where }x=0\\-5\ \text{ where }x<0\end{array}\right.$$
Sin embargo, esto es "suficientemente bueno" aquí, ya que $\lim\limits_{t\to0^+} u(x,t)=5$ .
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