Encontrar la región de determinación única de una EDP

Question

(a) Resuelve la ecuación $yu_x+xu_y=0$ con la condición $u(0,y) = e^{-y^2}$ .
(b) ¿En qué región del plano xy está determinada la solución de forma única?

He hecho la primera parte pero no entiendo cómo hacer la parte b. He leído esto.

Pero no entiendo en qué se basa el argumento. Se agradece una explicación más clara

Answer 1

Este es el ejercicio 1.2.7 de Ecuaciones diferenciales parciales por Strauss.

(a) La pendiente de las características es $x/y$ . Resolver $$ \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y} \tag{1} $$ mediante la separación de variables: $y\,dy=x\,dx$ Por lo tanto $y^2/2=x^2/2+C$ . Aislar $C$ aquí: $$y^2-x^2=C \tag{2}$$

La solución general es $u(x,y)=f(y^2-x^2)$ una función arbitraria del lado izquierdo de (2). Introduciendo la condición dada $u(0,y) = e^{-y^2}$ obtenemos $$f(y^2)=e^{-y^2}\tag{3}$$ Prefiero utilizar una nueva letra, como $z$ para el argumento de $f$ . La función $f(z)=e^{-z}$ satisface (3) y da $$ {u(x,y)= e^{x^2-y^2}} \tag{4} $$

(b) Observando (3) más detenidamente, vemos que sólo implica los valores de $f$ en $[0, \infty)$ . Por lo tanto, es satisfecha por cualquier función $f$ tal que $f(z)=e^{-z}$ para $z\ge 0$ . Los valores de $f$ para los negativos $z$ puede ser arbitraria. Se deduce que la solución $u(x,y)=f(y^2-x^2)$ está determinada de forma única en la región $y^2-x^2\ge 0$ (sin pintar en el boceto de abajo) pero puede ser cualquier función de la forma $f(y^2-x^2)$ en la región $y^2-x^2 < 0$ (pintado).

Answer 2

Otra explicación detallada se encuentra en el Ejercicio 4 aquí y una simple en 7b) aquí .