Trazado en el Plano Complejo

Question

Me pregunto ¿cómo se hace una gráfica de una función en el plano complejo? Por ejemplo,$$f(z)=\left|\dfrac{1}{z}\right|$$ ¿Cuál es la diferencia trazado de esta función en el plano complejo o real de avión?

Answer 1

En primer lugar, el gráfico de una función compleja es, por definición,$\{(z,w)\in{\mathbb C}^2: w=f(z)\}$, que vive en 4D. Por lo tanto, no hay un "simple" forma de visualizar esto.

Sin embargo, hay un número estándar de trucos para ayudarnos a visualizar la función. Tal vez el más estándar es para ilustrar el efecto que la función tiene en algunas de dominio estándar o un conjunto de dominios. Si escribe "parcela 1/z" en WolframAlpha, por ejemplo, te encontrarás con una serie de imágenes relacionadas con la función, uno de los cuales está marcado "Complejo mapa" y se ve así:

Esto ilustra cómo una cuadrícula de líneas en todo el cuadrado de $[-1,1]\times[-1,1]$ es afectado por el mapa $z\rightarrow 1/z$. Esto es un poco como tratar de entender el mapa de $f(x)=x^2$ mediante el examen de la siguiente imagen:

La imagen de arriba representa un conjunto de puntos distribuidos uniformemente en el intervalo de $[0,2]$; la parte inferior ilustra la imagen de los puntos de las $f(z)=z^2$.

Reitero, sin embargo, este es sólo uno de una serie de técnicas para la visualización de estos tipos de funciones. Otras posibilidades incluyen: el trazado de la real y la parte imaginaria como los gráficos en 3D, haciendo lo mismo con la magnitud y el argumento, o la creación de diagramas de contorno de estos. Esto funciona porque, por ejemplo, la escritura de $w=|f(x+i*y)|$, podemos ver que $w$ es un valor real de la función de las dos variables reales $x$$y$, lo que significa que podemos hacer un gráfico 3D. Aquí está el resultado de la WolframAlpha consulta "parcela |1/z|", por ejemplo:

Se puede conseguir muy loco si usted se traslada a la esfera de Riemann. Aquí WolframAlpha de la "esfera de Riemann mapa":

Para realmente entender esto, usted debe comprobar fuera de el video de Transformaciones de Möbius Reveló en YouTube!

Answer 2

Tenga en cuenta que para representar un número real, sólo necesitamos un eje (x o y ,una dimensión). Pero para representar el número complejo necesitamos dos ejes (x e y, de dos dimensiones). En cierto sentido, no hay ninguna diferencia entre el plano real y el plano complejo.
Para la función de $f(z)=\frac{1}{z}$
si $z$ es permitido tomar sólo un número real, es una de dos dimensiones de la parcela en avión real ( $R^2$ ,-x eje y), x-axis para tomar todo número real y el eje y para la toma de todas correspondiente valor de la función (que es un número real)
si $z$ es permitido tomar los números complejos, es una de cuatro dimensiones de la parcela en $R^4$ ($x-y-x_1-y_1$ el eje), $x-y$ eje para la toma de todos los números reales y $x_1-y_1$eje para la toma de todas correspondiente valor de la función (que es un número complejo) . Es muy difícil de visualizar.