Cuadrado de una serie

Question

Supongamos que $\sum_{j=0}^\infty a_j$ converge y $\sum_{j=0}^\infty a_j^2<\infty$ , donde $a_j\in\mathbb R$ , $j\ge0$ . Me gustaría demostrar que $$ \biggl[\sum_{j=0}^\infty a_j\biggr]^2 =\sum_{j=0}^\infty a_j^2+2\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=0}^\infty a_ja_{j+k}. $$

Utilizando la continuidad y elevando al cuadrado la suma, obtenemos $$ \biggl[\sum_{j=0}^\infty a_j\biggr]^2=\lim_{n\to\infty}\biggl[\sum_{j=0}^na_j\biggr]^2=\sum_{j=0}^\infty a_j^2+2\lim_{n\to\infty}\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=1}^{n-j}a_ja_{j+k}. $$

La prueba estaría completa si pudiera justificar las dos siguientes igualdades:

1. $\lim_{n\to\infty}\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=1}^{n-j}a_ja_{j+k}=\sum_{j=0}^\infty\sum_{k=1}^\infty a_ja_{j+k}$ ;
2. $\sum_{j=0}^\infty\sum_{k=1}^\infty a_ja_{j+k}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=0}^\infty a_ja_{j+k}$ .

¿Son ciertas estas igualdades? ¿Cómo puedo justificarlas si son verdaderas? ¿O la prueba debería ser completamente diferente?

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

1. Esto se justifica mostrando el límite: $2\lim_{n\to\infty}\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=1}^{n-j}a_ja_{j+k}$ existe. Existe porque los otros términos de su ecuación son finitos (es decir, sus límites existen).

2. ¿Y si empiezas con las sumas al revés? Entonces no hay necesidad de intercambiarlas al final, es decir, en lugar de:

$\qquad\qquad 2\lim_{n\to\infty}\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=1}^{n-j}a_ja_{j+k}$

$\qquad$ tener:

$\qquad\qquad2\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=0}^{n-k}a_ja_{j+k}$