Supongamos que $8$ preguntas se utilizarán en un examen. Cada participante recibe $3$ de la $8$ preguntas. Ningún par de participantes tenía más de una pregunta en común. Encuentre el máximo número posible de participantes.
Lo he intentado y he encontrado $7$ mediante un ensayo manual. Pero, no estoy seguro de que $7$ es máxima.
¿Alguna pista? No tengo ni idea todavía para construir el paso a paso en eso. Gracias por adelantado.
Dado $8$ preguntas que se utilizarán en un examen. Cada participante debe recibir $3$ de $8$ preguntas, sin que dos participantes reciban más de una pregunta idéntica a la que reciben los demás. Encuentre el número máximo de participantes.
El máximo es $\mathbf8$ . 
Aquí he dibujado $8$ triángulos $(123,\ 345,\ 567,\ 781,\ 146,\ 368,\ 582,\ 724)$ dentro de un $8$ polígono de lados sin que dos tengan un lado común. Los vértices representan las preguntas, y el hecho de no tener lados comunes sirve para que ningún participante reciba más de una pregunta idéntica a la que reciben los demás. Un $8$ polígono de lados tiene $8+8+8+4=28$ posibles líneas en él. Entonces, un reflejo es decir que $\left[\frac{28}{3}\right]=9$ son posibles los triángulos máximos. Los primeros $24$ las líneas se convierten en los lados de $8$ triángulos desde $24=8\times 3$ . El último $4$ líneas son las punteadas, de las cuales sólo $1$ puede forman un triángulo porque al haber dibujado $135$ , todos $137,\ 357,\ 571$ no están permitidos porque tienen un lado en común con él. No obstante, al dibujar un triángulo a partir del último $4$ las líneas se soltarán $2$ triángulos a cambio, al igual que $135$ hace a $123,\ 345$ . Por lo tanto, $8$ no $9$ .
¡8! no puede ser correcto. En tus 8 triángulos, ya tienes cada número apareciendo 3 veces. No podrás hacer que los números se repitan más de 3 veces sin que se repitan 2 de 3 preguntas.
@Math Lover La pregunta permite $123,\ 781,\ 146$ pero no $123,\ 124$ por la frase "no hay dos participantes".
Sí, de acuerdo, así que como máximo puedes tener 8 participantes, ¡no 8! Por favor, compruébelo.
Si divides 8 entre 3, obtienes un resto de 2. Así que utiliza dos preguntas cualesquiera como primarias y luego añade 3 combinaciones cualesquiera de 2 preguntas de 6 preguntas -> ( $\frac {6}{2})$ diferentes combinaciones de preguntas. En total, tienes 6 combinaciones (= 3x2) con un máximo de una repetición. Ahora, dejando las 2 preguntas primarias, todavía tendrá lugar para añadir 2 combinaciones con una sola repetición (= $\frac {6}{3}$ ).
Así que deberían ser 8 participantes como máximo.
Un ejemplo de 8 preguntas es (1,2,3), (1,4,5), (1,6,7), (8,3,4), (8,5,6), (8,2,7), (2,4,6), (3,5,7).
Parece que ese ejemplo viola la regla de que ningún par de participantes tiene más de una pregunta en común.
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La primera versión de este post no era del todo clara. He reformulado el enunciado del problema para mayor claridad, pero puede haber otras interpretaciones.