Relación abstracta entre presejos y conjuntos simpliciales

Question

Todo presheaf (digamos en un espacio topológico) viene con mapas de restricción. Los conjuntos abiertos de un espacio topológico se ordenan por inclusión y estas inclusiones dan lugar a las restricciones. Ahora bien, una gavilla satisface una condición de encolado: que se pueda encolar a lo largo de elementos que coincidan en restricciones comunes.

Todo objeto simplicial (digamos un conjunto simplicial) viene con mapas de caras. La categoría simplex se ordena por caras y degeneraciones y estos mapas dan lugar a mapas simpliciales. Ahora bien, un complejo Kan satisface una condición de pegado*: que se pueda pegar a lo largo de los símiles que coinciden en caras comunes.

¿Existe un marco teórico más profundo para relacionar estas dos nociones? Supongo que sí, y que es bastante trivial.

Pregunta al margen: ¿Podemos definir las "degeneraciones" para los presheaves?

¿Ideas?

*no es una condición de pegado, sino "de alguna manera similar" (ver respuestas más abajo)

Answer 1

Sí, así es:

A conjunto simplicial es precisamente un presheaf en el categoría simplex .

Hay varios categoría de modelo estructuras sobre las categorías de presheaves en general y sobre los conjuntos simpliciales en particular.

Con respecto a la estructura del modelo estándar en conjuntos simpliciales el Complejo Kan es son precisamente los objetos fibrantes y cofibrantes.

Con respecto al local estructura del modelo en presheaves en un sitio el gavillas son precisamente los objetos fibrantes y cofibrantes.

Hay una combinación muy útil de estas dos afirmaciones:

A presheaf simplicial es un presheaf en la categoría de producto de la categoría simplex y algún sitio.

en el proyectivo local estructura del modelo en presheaves simpliciales los objetos fibrantes son precisamente aquellos presheaves simpliciales que son complejos Kan sobre cada objeto del sitio y que satisfacen la oo-versión de la condición de gavilla ("descenso") : estos son los ( hipercompleto ) oo-stacks en el sitio dado.

Answer 2

Realmente no entiendo cómo ves la condición de llenado del cuerno de Kan como una condición de pegado.

Pero las gavillas y los conjuntos simpliciales Kan desempeñan papeles paralelos en sus categorías si se mira a través de la teoría de la categoría de modelos: en ambas situaciones se tiene un endofunctor que sustituye una gavilla por una gavilla, un conjunto simplicial por un conjunto Kan respectivamente. Ambas categorías tienen una estructura de modelo, es decir, un conjunto de datos que permiten manejar la inversión formal de morfismos que se denominan equivalencias débiles.

En el caso de la preseaf las equivalencias débiles son aquellos morfismos que se convierten en isomorfismos después de aplicar el functor de sheafificación. Si se invierten formalmente, la categoría resultante es equivalente a la categoría de láminas.

En el caso de los conjuntos simpliciales las equivalencias débiles son aquellos mapas que inducen isomorfismos de grupos de homotopía tras aplicar la realización geométrica. Si se invierten formalmente se obtiene una categoría equivalente a la categoría de homotopía de espacios.

Answer 3

La condición de Kan no es exactamente como la condición de gavilla: la condición de Kan permite "pegar" (como dices) en ciertos casos, pero el resultado no es único.

Una mejor analogía con la condición Kan en la teoría de gavillas podría ser la noción de flasque un conjunto F es flexible si para todos los subconjuntos V de U, todas las secciones de F sobre V se extienden a secciones sobre U.