La pregunta de los deberes es errónea, al igual que la respuesta proporcionada. Exponenciación $a^b$ está bien definida cuando $b$ es un número entero (y $a$ es invertible en el caso $b<0$ ) o cuando $a\in\Bbb R_{>0}$ En el primer caso se aplica la definición de "multiplicación repetida" de la exponenciación, y en el segundo caso la definición $a^b=\exp(b\ln a)$ donde las funciones $\exp:\Bbb C\to\Bbb C$ y $\ln:\Bbb R_{>0}\to\Bbb R$ son los habituales y bien definidos. En el caso de $\def\ii{{\bf i}}\ii^{\ii}$ sin embargo, ninguno de estos casos se aplica, por lo que la expresión no está bien definida.
Muchos intentarán, sin embargo, utilizar la fórmula $\exp(b\ln a)$ para dar un valor a $~a^b$ como se hace (de forma algo indirecta) en la respuesta presentada en la pregunta. Sin embargo, esto pasa por alto el hecho de que la justificación de $a^b=\exp(b\ln a)$ , a saber $$a^b =(\exp(\ln a))^b =\exp((\ln a)b),$$ utiliza una regla, a saber $(\exp y)^z=\exp(yz)$ (o tal vez más generalmente $(a^y)^z=a^{yz}$ para $a\in\Bbb R_{>0}$ ), que simplemente no es válida para todos los $y,z\in\Bbb C$ (aunque sí es válido para $y\in\Bbb R$ y $z\in\Bbb C$ ). Para un ejemplo sencillo en el que la regla falla, tomemos $y=2\pi\ii$ y $z=\pi$ entonces $$ (\exp2\pi\ii)^\pi=1^\pi=1\neq \exp(2\pi^2\ii)\approx 0.629681725+0.77685322\ii . $$ Una forma alternativa de la regla es $\ln(x^y)=y\ln(x)$ que también falla en general cuando $y\notin\Bbb R$ por ejemplo, cuando $y=2\pi\ii$ y $x=e$ donde daría $0=2\pi\ii$ . Su "respuesta" utiliza esta última regla al principio con $y=\ii$ que está fuera del rango donde la regla es válida.
Ver también esta respuesta .
