¿Cómo puede $i^i = e^{-\pi/2}$ ¡¡!!

Question

Me hicieron una pregunta de deberes: encontrar $i^i$ . La solución aportada fue la siguiente:

Dejemos que $A = i^i$ .

$\log A = i \log i$ .

Ahora, $\log i = \log e^{i\pi/2} = \frac{i\pi}{2}$ .

Así que, $\log A = -\frac{\pi}{2}$

Así, $i^i = e^{-\pi/2}$ .

He entendido cómo se ha obtenido el resultado, pero es ilógico. Entiendo que al multiplicar por $i$ equivale a girar el vector de posición del número complejo en el plano de Argand por $90$ grados en sentido contrario a las agujas del reloj. ¿Cómo puede la rotación $i$ en sentido contrario a las agujas del reloj $i$ número de veces da $e^{-\pi/2}$ ?

Entonces, ¿alguien puede explicarme gráficamente o más intuitivamente, cómo $i^i = e^{-\pi/2}$ ?

Answer 1

Por definición $$e^{ix} = \cos x+i\sin x$$

Dejar $x= \frac{\pi}{2}$ conseguimos esto:

$$i = e^{\frac{i\pi}{2}}$$

Entonces juega con los poderes.

$$i^i = e^{\frac{i^2\pi}{2}}$$

$$i^2=-1$$ Por lo tanto, $$i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}$$

Por supuesto $i^i$ alcanza un conjunto elemental infinito de valores reales (debido a la naturaleza periódica de $cisx$ ) pero como su pregunta era para probar $i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}$ Y así lo he hecho.

Answer 2

La pregunta de los deberes es errónea, al igual que la respuesta proporcionada. Exponenciación $a^b$ está bien definida cuando $b$ es un número entero (y $a$ es invertible en el caso $b<0$ ) o cuando $a\in\Bbb R_{>0}$ En el primer caso se aplica la definición de "multiplicación repetida" de la exponenciación, y en el segundo caso la definición $a^b=\exp(b\ln a)$ donde las funciones $\exp:\Bbb C\to\Bbb C$ y $\ln:\Bbb R_{>0}\to\Bbb R$ son los habituales y bien definidos. En el caso de $\def\ii{{\bf i}}\ii^{\ii}$ sin embargo, ninguno de estos casos se aplica, por lo que la expresión no está bien definida.

Muchos intentarán, sin embargo, utilizar la fórmula $\exp(b\ln a)$ para dar un valor a $~a^b$ como se hace (de forma algo indirecta) en la respuesta presentada en la pregunta. Sin embargo, esto pasa por alto el hecho de que la justificación de $a^b=\exp(b\ln a)$ , a saber $$a^b =(\exp(\ln a))^b =\exp((\ln a)b),$$ utiliza una regla, a saber $(\exp y)^z=\exp(yz)$ (o tal vez más generalmente $(a^y)^z=a^{yz}$ para $a\in\Bbb R_{>0}$ ), que simplemente no es válida para todos los $y,z\in\Bbb C$ (aunque sí es válido para $y\in\Bbb R$ y $z\in\Bbb C$ ). Para un ejemplo sencillo en el que la regla falla, tomemos $y=2\pi\ii$ y $z=\pi$ entonces $$(\exp2\pi\ii)^\pi=1^\pi=1\neq \exp(2\pi^2\ii)\approx 0.629681725+0.77685322\ii .$$ Una forma alternativa de la regla es $\ln(x^y)=y\ln(x)$ que también falla en general cuando $y\notin\Bbb R$ por ejemplo, cuando $y=2\pi\ii$ y $x=e$ donde daría $0=2\pi\ii$ . Su "respuesta" utiliza esta última regla al principio con $y=\ii$ que está fuera del rango donde la regla es válida.

Ver también esta respuesta .

Answer 3

Como dice DHMO en su comentario, el complejo mapa $\ln$ es multivaluada, por lo que la exponenciación compleja es una operación multivaluada. En consecuencia,

$$i^i=\exp(i\ln(i))=\exp(i\cdot (\pi/2+2k\pi)i),k\in\mathbb{Z}$$

Entonces, si quieres, puedes considerar la rama principal de lo anterior para $k=0$ que da la respuesta deseada. $i^i$ da una igualdad de conjunto y no un solo número.

Answer 4

Como complemento a la respuesta de @Sid, se puede ver también como una manipulación directa de La identidad de Euler :

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

$$e^{i\pi} = -1$$

$$e^{\frac{i\pi}{2}} = (-1)^{\frac{1}{2}}$$

$$e^{\frac{i\pi}{2}} = i$$

$$e^{\frac{i \cdot i\pi}{2}} = i^i$$

$$e^{\frac{-1 \cdot \pi}{2}} = i^i$$

$$e^{-\frac{\pi}{2}} = i^i$$