Dejemos que $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ sea una función holomorfa. Supongamos que para cada $a\in \mathbb{C}$ al menos un coeficiente de la serie de Taylor $f$ sobre $a$ es cero. Demuestre que $f$ es un polinomio.
Respuesta
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Decir que al menos uno de los coeficientes de la serie de Taylor desaparece es lo mismo que decir que para cada $a\in \mathbb{C}$ hay $m\in \mathbb{N}$ tal que $f^{(m)}(a)=0$ .
Considere $A_{n}:=\left\{z\in\mathbb{C}:f^{(n)}(z)=0\right\}$ para cada $n\in \mathbb{N}$ . Tenga en cuenta que:
$f$ es polinómico si $A_{n}$ no es contable para algunos $n\in \mathbb{N}$ .
De hecho, si $f$ es un polinomio de grado $n$ entonces $f^{(n+1)}(z)=0$ para todos $z\in \mathbb{C}$ entonces $A_{n+1}=\mathbb{C}$ Así que.., $A_{n+1}$ no es contable. Por el contrario, si hay $n\in \mathbb{C}$ tal que $A_{n}$ no es contable, entonces $A_{n}$ tiene un punto límite, entonces por el principio de identidad tenemos $f^{(n)}(z)=0$ para todos $z\in \mathbb{C}$ Así que.., $f$ es un polinomio de grado máximo $n-1$ .
Por lo tanto, tt basta con demostrar que hay $n\in \mathbb{N}$ tal que $A_{n}$ no es contable. En efecto, consideremos $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}$ por hipótesis para cada $a\in \mathbb{C}$ hay $m\in \mathbb{N}$ tal que $f^{(m)}(a)=0$ entonces $\mathbb{C}\subseteq \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}$ . Por lo tanto, $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}$ no es contable, entonces hay $n\in \mathbb{N}$ tal que $A_{n}$ no es contable.
