Demostrar que un espacio de Hausdorff es un $T_1$ -espacio

Question

Demuestre que cualquier $T_2$ -el espacio es también un $T_1$ -espacio.

Consideremos $(X,\tau)$ para ser un $T_2$ o espacio topológico de Hausdorff. Por lo tanto, $\exists x,y\in X$ tal que $x\in U$ , $y\in V$ y $U\cap V=\emptyset$ . Si se define $Y=\{x,y\}$ existe la topología $\tau_y=\{A\cap Y:A\in\tau\}$ , de tal manera que $(Y,\tau_y)$ es un subespacio topológico de $(X,\tau)$ . Como $x\in U$ entonces $U\cap Y=U\cap{x,y}={y}$ entonces $y\in\tau_y$ para que $x=Y\setminus \{y\}$ es entonces un conjunto cerrado del subespacio topológico $(Y,\tau_y)$ . Entonces $\{x\}\cap \{Y\}={x}\cap\{x,y\}={x}$ para que $\{x\}$ está cerrado en $X,\tau$ (ya que la intersección de un conjunto cerrado en Y produce un conjunto cerrado en el subespacio respectivo). De forma análoga se demuestra que $\{y\}$ se cierra mediante el uso de $V$ . Desde $x,y\in X$ son arbitrarios, entonces $(X,\tau)$ es $T_1$ espacio

Pregunta :

¿Es correcta mi prueba?

Gracias de antemano.

Answer 1

Yo usaría esta caracterización que acabas de mostrar. Si $X$ es Hausdorff y $x \neq y$ tenemos dos conjuntos abiertos $U$ y $V$ con $x \in U, y \in V, U \cap V = \emptyset$ . Entonces $V \cap \{x,y\} = \{y\}$ está claro, así que $X$ es $T_1$ .

Answer 2

Propongo lo siguiente. Supongamos que $\{x\}$ no está cerrado. Entonces existe $y\ne x$ en el cierre de $\{x\}$ . A continuación, por $T_2$ hay un vecindario abierto $U$ de $y$ s.t $x\not\in U$ . Contradice nuestra conjetura $y\in\overline{\{x\}}.$