Encontrar el mínimo y el máximo de una función compleja

Question

Dejemos que $\Omega :=\{z\in\mathbb{C}: 1\le \vert z\vert \le 2\}$ y $f:\Omega\to\mathbb{R},f(z)=\vert \frac{e^z}{z}\vert$ . Determine el máximo y el mínimo de $f$ .

Para encontrar el máximo tenemos que utilizar el principio del módulo máximo, ya que $f(z)$ es analítico $∀z$ en la región, y $f(z)$ no es constante, el máximo de esta función estará en el límite del disco unitario.

Si dejamos que $z=e^{it}$ entonces, $$f(z)=\vert \frac{e^{e^{it}}}{e^{it}} \vert=\frac{exp(\cos t+i\sin t)}{(\cos t + i\sin t)}=\frac{e^{\cos t}+e^{i \sin t}}{(\cos t + i\sin t)}=\frac{e^{\cos t}}{(\cos t + i\sin t)}+\frac{e^{i \sin t}}{(\cos t + i\sin t)}$$

después de esto estoy perdido en lo que hacer a continuación, creo que tengo que minimizar el denominador eligiendo $t=0$ que dará un máximo de $e+1$ ?

¿Cómo encontraría entonces el mínimo de la función?

Answer 1

En $|z|=r$ tenemos $|e^{z}|=|e^{re^{i\theta}}|=e^{r\cos \theta}$ con $0\leq \theta \leq 2\pi$ . El valor máximo de esto es $e^{r}$ y el valor mínimo es $e^{-r}$ . ¿Puedes terminar?

Answer 2

Tenga en cuenta que el $\max$ debe ocurrir en la frontera ya que $f$ es un mapa abierto, pero puede estar en cualquier lugar de la frontera, no sólo en la frontera interior.

Tenga en cuenta que $|{e^z \over z}| = {e^{\operatorname{re} x} \over |z|}$ .

En $|z|=1$ vemos que $\operatorname{re} z \in [-1,1]$ y así el $\max$ es $e$ .

en $|z|=2$ vemos que $\operatorname{re} z \in [-2,2]$ y así el $\max$ es ${e^{2} \over 2}$ .

El $\min$ puede determinarse de forma similar.

Es sencillo comprobar que ${e^{2} \over 2} > e.$